笔记：离散时间形式的索洛模型
生活随笔
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笔记：离散时间形式的索洛模型
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設Yt=F(k,AL),At+1=(1+g)At,Lt+1=(1+n)Lt,Kt+1=Kt+sYt?δKtY_t=F(k,AL),A_{t+1}=(1+g)A_t,L_{t+1}=(1+n)L_t,K_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_tYt?=F(k,AL),At+1?=(1+g)At?,Lt+1?=(1+n)Lt?,Kt+1?=Kt?+sYt??δKt?
- 求kt+1k_{t+1}kt+1?
首先
Kt+1=Kt+sYt?δKtK_{t+1}=K_t+sY_t-\delta K_tKt+1?=Kt?+sYt??δKt?
兩邊除以At+1Lt+1A_{t+1}L_{t+1}At+1?Lt+1?
kt+1=Kt+1At+1Lt+1=(1?δ)kt+sf(kt)(1+g)(1+n)k_{t+1}=\frac{K_{t+1}}{A_{t+1}L_{t+1}}=\frac{(1-\delta)k_t+sf(k_t)}{(1+g)(1+n)}kt+1?=At+1?Lt+1?Kt+1??=(1+g)(1+n)(1?δ)kt?+sf(kt?)? - 收斂性
kt+1k_{t+1}kt+1?的表達式改寫為
kt+1=1?δ(1+g)(1+n)kt+s(1+g)(1+n)f(kt)k_{t+1}=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k_t+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k_t)kt+1?=(1+g)(1+n)1?δ?kt?+(1+g)(1+n)s?f(kt?)
一階導
?kt+1?kt=1?δ(1+n)(1+g)+s(1+g)(1+n)f′(kt)>0\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f'(k_t)>0?kt??kt+1??=(1+n)(1+g)1?δ?+(1+g)(1+n)s?f′(kt?)>0
二階導
?2kt+1?kt2=s(1+n)(1+g)f′′(kt)<0\frac{\partial^2 k_{t+1}}{\partial k_t^2}=\frac{s}{(1+n)(1+g)}f''(k_t)<0?kt2??2kt+1??=(1+n)(1+g)s?f′′(kt?)<0
驗證稻田條件
lim?k→0?kt+1?kt=∞lim?k→∞=1?δ(1+n)(1+g)<1\lim \limits_{k\rightarrow 0}\frac{\partial k_{t+1}}{\partial k_t}=\infty\\ \lim_{k\rightarrow \infty}=\frac{1-\delta }{(1+n)(1+g)}<1k→0lim??kt??kt+1??=∞k→∞lim?=(1+n)(1+g)1?δ?<1
所以圖像為
所以任何大于0的資本存量都會收斂于k?k^*k?。
- 單位有效勞動的消費表達式
單位有效勞動的消費為
c?=(1?s)f(k?)c^*=(1-s)f(k^*)c?=(1?s)f(k?)
現在求s。
在平衡增長路徑上kt+1=ktk_{t+1}=k_tkt+1?=kt?,標記為k?k^*k?,那么
k?=1?δ(1+g)(1+n)k?+s(1+g)(1+n)f(k?)k?[(1+g)(1+n)?1+δ]=sf(k?)k?=sf(k?)g+n+ng+δk^*=\frac{1-\delta }{(1+g)(1+n)}k^*+\frac{s}{(1+g)(1+n)}f(k^*)\\\quad\\ k^*[(1+g)(1+n)-1+\delta]=sf(k^*)\\\quad\\k^*=\frac{sf(k^*)}{g+n+ng+\delta}k?=(1+g)(1+n)1?δ?k?+(1+g)(1+n)s?f(k?)k?[(1+g)(1+n)?1+δ]=sf(k?)k?=g+n+ng+δsf(k?)?
進而
s=k?(g+n+ng+δ)k?/f(k?)s=k^*(g+n+ng+\delta)k^*/f(k^*)s=k?(g+n+ng+δ)k?/f(k?)
代入消費的表達式
c?=(1?s)f(k?)=[1?(g+n+ng+δ)k?f(k?)]f(k?)=f(k?)?(g+n+ng+δ)k?c^*=(1-s)f(k^*)=[1-\frac{(g+n+ng+\delta)k^*}{f(k^*)}]f(k^*)\\= f(k^*)-(g+n+ng+\delta)k^*c?=(1?s)f(k?)=[1?f(k?)(g+n+ng+δ)k??]f(k?)=f(k?)?(g+n+ng+δ)k? - 最大化消費的資本的邊際產品
就是求使得c?c^*c?最大的k?k^*k?，所以c?c^*c?對k?k^*k?求導
?c??k?=f′(k?)?(g+n+ng+δ)=0\frac{\partial c^*}{\partial k^*}=f'(k^*)-(g+n+ng+\delta)=0?k??c??=f′(k?)?(g+n+ng+δ)=0
所以kGRk_{GR}kGR?由下式決定
f′(kGR)=g+n+ng+δf'(k_{GR)}=g+n+ng+\deltaf′(kGR)?=g+n+ng+δ
總結
以上是生活随笔為你收集整理的笔记：离散时间形式的索洛模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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