一、三角函數的概念

單位圓定義：設起點在原點的射線，與x軸正半軸形成一個角θ，并與單位圓(x2+y2=1)相交。這個交點的橫坐標值和縱坐標值分別等于cosθ和sinθ。

單位圓定義允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對于在 0 和 π/2弧度之間的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角，對于大于2π或小于-2π的角，可繼續繞單位圓旋轉得到。

如：角α的終邊經過點P(3,-4)，則cosα=3/5。

二、三角函數的誘導公式

任意角的三角函數均可與第一象限角的三角函數相互轉化。

(奇變偶不變，符號看象限)

誘導公式可以概括為：對于kπ/2±α(k∈Z)的三角函數值，當k是偶數時，得到α的同名函數值，即函數名不改變；當k是奇數時，得到α相應的余函數值sin→cos;cos→sin;tan→cot；cot→tan。(奇變偶不變)，然后在前面加上把α看成銳角時原函數值的符號(符號看象限)。

如：sin(-2π－α)=sin(-4·π/2－α)，k=-4為偶數，所以取sin；α看成銳角時，-2π－α在第四象限，sin(-2π－α)<0，符號為“－”。所以sin(-2π－α)=－sinα。

和差角公式

正弦、余弦、正切、余切的和差角公式：

二倍角公式

二倍角公式是利用和差角公式展開得到。

三、三角函數的圖像

一個周期內的圖像如下所示。

四、三角函數的值域

當x∈R時，sinx值域為[-1，1]。

對于當x∈[a，b]時，求y=Asin(ωx+φ)的值域問題可用換元法,令t=ωx+φ,根據x的范圍確定t的范圍,然后再求出sint的范圍,進而得到函數的值域。

如求函數y＝4cos(x＋π/6)-2，x∈[0，π/2]的值域，由x∈[0，π/2]，得x＋π/6∈[π/6，2π/3]，即cos(x＋π/6)∈[-1/2，√3/2]，所以y∈[-4，2√3-2]。

五、三角函數的單調性

sinx的單調增區間是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],單調減區間是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z。

cosx的單調增區間是x∈[2kπ-π,2kπ],單調減區間是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z。

求y=Asin(ωx+φ)的單調增區間，可把ωx+φ看作一個整體，即ωx+φ∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z；解得x∈[(2kπ-π/2-φ)/ω,(2kπ+π/2-φ)/ω],k∈Z。

如f(x)=5sin(2x+π/4)的單調增區間為2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z。則2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z。即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z。

六、三角函數的周期性

三角函數都有周期，最小正周期用T表示，nT(n為整數)也是該三角函數的周期。

sinx和cosx的最小正周期T=2π；tanx和cotx的最小正周期 T=π。

y=Asin(ωx+B)+C或y=Acos(ωx+B)+C，其中A,ω,B,C為常數。周期只與x的系數ω有關，最小正周期T=2π/ω。

七、三角函數的對稱性

正弦、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

正弦、余弦函數圖像的對稱軸是過函數圖象的最高(低)點且垂直于x軸的直線；對稱中心是圖象與x軸的交點。

如：函數y=sinx圖像關于直線x=kπ+π/2對稱，關于點(kπ，0)中心對稱。

八、三角函數圖形變換

1.平移變換

函數圖像y=f(x)按向量(a，b)平移，得到的新圖像按向量(-a，-b)平移可變回原圖像，并滿足原函數的對應法則，故新函數為：y-b=f(x-a)。即圖形平移可視為函數按向量作減法(即“左加右減，上加下減”)。

如：將函數y=sinx圖像往左平移5個單位，再往上平移3個單位后的函數為y-3=sin(x-(-5))，整理后：y=sin(x+5)+3。

2、放縮變換

對函數y=f(x)圖像x變化a倍、y變化b倍，得到的新圖像x變化1/a倍、y變化1/b倍可變回原圖像，并滿足原函數的對應法則，新函數為：y/b=f(x/a)。

如：將函數y=sinx圖像橫坐標縮小5倍，得到函數y=sin5x，再將縱坐標放大3倍得到函數y/3=sin5x，整理后得y=3sin5x。

注意：平移變換和放縮變換均只對x與y進行變換。

如：由y=sinx得到y=5sin(2x+4)。

法1：先平移后放縮

先向左平移4個單位，然后橫坐標變為原來的1/2，最后縱坐標伸長為原來5倍。

法2：先放縮后平移

先橫坐標變為原來的1/2，然后向左平移2個單位(只對x變換，而不是2x)，最后縱坐標伸長為原來5倍。

總結

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