有后效性的動態規劃？（然而并不是）

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題目描述

Sue和Sandy最近迷上了一個電腦游戲，這個游戲的故事發在美麗神秘并且充滿刺激的大海上，Sue有一支輕便小巧的小船。然而，Sue的目標并不是當一個海盜，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一個秘密武器，只要她將小船劃到一個彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬間收集到這個彩蛋。然而，彩蛋有一個魅力值，這個魅力值會隨著彩蛋在空中降落的時間而降低，Sue要想得到更多的分數，必須盡量在魅力值高的時候收集這個彩蛋，而如果一個彩蛋掉入海中，它的魅力值將會變成一個負數，但這并不影響Sue的興趣，因為每一個彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。

然而Sandy就沒有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到盡可能多的分數，為了解決這個問題，他先將這個游戲抽象成了如下模型：

以Sue的初始位置所在水平面作為x軸。

一開始空中有N個彩蛋，對于第i個彩蛋，他的初始位置用整數坐標（xi, yi）表示，游戲開始后，它勻速沿y軸負方向下落,速度為vi單位距離/單位時間。Sue的初始位置為(x0, 0)，Sue可以沿x軸的正方向或負方向移動，Sue的移動速度是1單位距離/單位時間，使用秘密武器得到一個彩蛋是瞬間的，得分為當前彩蛋的y坐標的千分之一。

現在，Sue和Sandy請你來幫忙，為了滿足Sue和Sandy各自的目標，你決定在收集到所有彩蛋的基礎上，得到的分數最高。

輸入格式

第一行為兩個整數N, x0用一個空格分隔，表示彩蛋個數與Sue的初始位置。

第二行為N個整數xi，每兩個數用一個空格分隔，第i個數表示第i個彩蛋的初始橫坐標。

第三行為N個整數yi，每兩個數用一個空格分隔，第i個數表示第i個彩蛋的初始縱坐標。

第四行為N個整數vi，每兩個數用一個空格分隔，第i個數表示第i個彩蛋勻速沿y軸負方向下落的的速度。

輸出格式

一個實數，保留三位小數，為收集所有彩蛋的基礎上，可以得到最高的分數。

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　　這道題容易看出是動態規劃，但是轉移方程不好設計：每走一步都會改變當前所有未收集位置上的狀態，不好從一個狀態轉移到另一個狀態，但是我們可以提前將它計算出來。

　　我們設f[k][i][j]表示[i,j]已經走了，此時在k位置(k=0 left|k=1 right)時的最大分數，每走到一個新的格子，先將價值減去其余格子下降的高度和，再加上當前格的價值，以此方式考慮從左還是右轉移即可。

　　具體細節：

1.可以用前綴和處理每一個格子的價值，高度和即為d*{sum[1~i)+sum(j,n]},d為路程。

2.預處理就是將原點加入序列中，排序保證每次轉移都是向最近的格子(先取比迂回取更優)，再將初始狀態賦為0，其余為負無窮即可。

具體看程序：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) const int N=1e3+10; struct ball{int x,y,v; }a[N]; bool cmp(ball t1,ball t2){return t1.x<t2.x;} int n,x0; int s[N],l[N][N],r[N][N]; int sum(int i,int j){return s[n]-s[j]+s[i-1]; } int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f; } int main(){n=read();x0=read();f(i,1,n){a[i].x=read();}f(i,1,n){a[i].y=read();}f(i,1,n){a[i].v=read();}a[++n].x=x0;sort(a+1,a+n+1,cmp);f(i,1,n){s[i]=s[i-1]+a[i].v;}memset(l,-0x3f,sizeof(l));memset(r,-0x3f,sizeof(r));f(i,1,n){if(a[i].v==0&&a[i].x==x0) l[i][i]=r[i][i]=0;}f(i,2,n){f(j,1,n-i+1){int k=j+i-1;l[j][k]=a[j].y+max(l[j+1][k]-(a[j+1].x-a[j].x)*sum(j+1,k),r[j+1][k]-(a[k].x-a[j].x)*sum(j+1,k));r[j][k]=a[k].y+max(r[j][k-1]-(a[k].x-a[k-1].x)*sum(j,k-1),l[j][k-1]-(a[k].x-a[j].x)*sum(j,k-1));}}printf("%.3lf",max(l[1][n],r[1][n])/1000.0);return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/Nelson992770019/p/11469636.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【DP专题】——洛谷P2466 [SDOI2008]Sue的小球的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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