向量空間的概念

定義：設(shè) V 是 n 維向量的集合，如果滿足

若 a ∈ V， b ∈ V，則a + b ∈ V ．（對(duì)加法封閉）

若 a ∈ V，k∈ R，則ka ∈ V ． （對(duì)數(shù)乘封閉） 那么就稱集合 V 為向量空間．

注： 向量空間就是對(duì)加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉的向量組.
定義：如果向量空間 V 的非空子集合 V1對(duì)于 V 中所定義的 加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，則稱 V1是 V 的子空間．

幾個(gè)常見(jiàn)的向量空間

n 維向量的全體Rn
$R^n=\{x=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T|x_1,x_2,...,x_n\in R\}$

齊次線性方程組的解集 $S=\{x|Ax=0\}$稱為齊次 線性方程組的解空間.

向量組的生成空間

向量空間和向量組的對(duì)應(yīng)關(guān)系

內(nèi)積的概念

設(shè)向量$a=?\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\end{array}?$，$b=?\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}?$，稱數(shù)
$(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n=a^{T}b=b^{T}a$為向量的內(nèi)積。
注：內(nèi)積就是數(shù)量積的推廣。
內(nèi)積具有下列性質(zhì)（k 為實(shí)數(shù)）：

• 對(duì)稱性：$(x,y)=(y,x)$
• 線性性：$(kx,y)=k(x,y)$,$(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$
• 非負(fù)性：當(dāng) x = 0（零向量） 時(shí)，$(x,x)=0$;當(dāng) x ≠ 0（零向量） 時(shí)，$(x,x)>0$。

向量的長(zhǎng)度和夾角

為n維向量的長(zhǎng)度（模，范數(shù)）。長(zhǎng)度為1的向 量稱為單位向量。‘
向量的單位化$\frac{x}{||x\Vert |}$
定義：非零向量x,y的夾角定義為$\theta =arccos\frac{(x,y)}{||x||?||y||}$

向量的正交

定義：若向量a,b的夾角為 $\frac{\pi }{2}$ ,稱向量a,b正交,記為$a\perp b$. 規(guī)定零向量與任何向量正交.
定理：兩個(gè)n維向量正交的充要條件是它們的內(nèi)積等于零.
例如：單位坐標(biāo)向量?jī)蓛烧?
定理：兩兩正交的非零向量一定線性無(wú)關(guān)，反之不對(duì).
定義 如果向量空間V的一組基兩兩正交且長(zhǎng)度 都為1，則稱為一組規(guī)范正交基.
例如R3的一組規(guī)范正交基為:$?\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}?,?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?$

正交矩陣

若n階方陣A滿足$A^{T}A=I$,則稱A為正交矩陣.
定理 A為正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量 是兩兩正交的單位向量，即為Rn的一組規(guī)范正交基.
正交矩陣的性質(zhì)
若A為正交矩陣則有：$A^{?1}=A^T,|A|=\pm 1$
如果A, B是正交矩陣,則A-1, AT, AB也是正交矩陣.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量空间的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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