文章目錄

• • Lucas-Kanade 20 Years On 正反向/累加/合成求解算法
  • • 1 介紹
    • 2 Lucas-Kanade算法傳統(tǒng)算法
    • • 2.1 Lucas-Kanade算法思想
      • 2.2 Lucas-Kanade問題的導(dǎo)數(shù)
      • 2.3 Lucas-Kanade算法的求解過程（正向累加）：
      • 2.4 算法可行條件
    • 3 累積近似及組合求解算法
    • • 3.1 合成求解算法
      • 3.2 合成算法的泰勒展開及導(dǎo)數(shù)
      • 3.4 合成算法的可行條件：
      • 3.5 兩種求解算法的等價性
    • 4 反向組合求解算法
    • • 4.1 反向合成算法思想
      • 4.2 反向合成算法的泰勒展開及導(dǎo)數(shù)
      • 4.3 反向合成算法求解流程：
      • 4.4 反向組合算法的可行條件
    • 5 反向累加算法
    • • 5.1 反向累積算法思路
      • 5.3 泰勒展開及導(dǎo)數(shù)
      • 5.3 總結(jié) Lucas-Kanade算法的求解過程
      • 5.4 算法可行條件

Lucas-Kanade 20 Years On 正反向/累加/合成求解算法

主要翻譯及概述基于圖像對齊的正向累加、正向合成、反向合成及反向累積迭代算法
Forward additive algorithm、Forward Compositional algorithm、Inverse additive algorithm & Inverse Compositional algorithm
對應(yīng)代碼下載地址-https://download.csdn.net/download/weixin_41469272/86245142

1981年提出的圖像對齊的算法Lucas-Kanade在計算機(jī)視覺中得到了廣泛的應(yīng)用，如光流，運(yùn)動跟蹤，環(huán)境重建以及面部編碼等。很多對Lucas-Kanade算法的擴(kuò)展算法被提出并得到應(yīng)用。本文將會對統(tǒng)一框架下的拓展算法，以圖像對齊作為實例進(jìn)行概述。重點(diǎn)描述反向組合(inverse compositional)算法，一種比較高效的算法。本文測試了一些能夠使用反向組合算法且無效率損失的Lucas-Kanade拓展算法，以及一些不能使用反向組合求解的算法。第一部分的文獻(xiàn)中，我們介紹了近似量(quantity approximated，這里應(yīng)該是指變換的累積形式的近似)，變換更新規(guī)則，以及梯度下降近似。在以后的文章中，將會介紹誤差方程，以及如何允許線性顯示變化，以及如何對參數(shù)施加先驗。

1 介紹

圖像對齊通過最小化模型與圖像之間的誤差來解析得到想要的參數(shù)。在Lucas-Kanade的光流算法(1981年，Lucas and Kanade)被應(yīng)用于圖像對齊之后，圖像對齊技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于計算機(jī)視覺中。除了光流法，另外有一些其他的應(yīng)用包括，圖像跟蹤(1998年，Hager and Belhumeur)以及參數(shù)和運(yùn)動估計(1992, Bergen等)等。

圖像對齊通常使用梯度下降法，有其他的數(shù)值方法，如誤差分解(difference decomposition, 1997, Gleicher)和線性回歸(linear regression, 1998 Cootes等)被提出，但是梯度下降方法仍是通常使用的方法，梯度下降方法可以通過多種途徑實現(xiàn)。數(shù)值方法中的一個不同之處在于，它們是否使用了參數(shù)累加的方法(additive approach (Lucas and Kanade, 1981)),或者他們是否通過增量組合變換的方式（就是通過求解變量的增量的方式，而非單純求解參數(shù)增量的形式）（Shum and Szeliski, 2000）。另外一個不同，是算法在迭代求解方法上的不同，高斯牛頓法，牛頓法，最速下降法，以及LM法等。

該論文提出通用的圖像對齊的框架，來統(tǒng)一描述不同變種算法，重點(diǎn)描述反向組合算法。

2 Lucas-Kanade算法傳統(tǒng)算法

Lucas-Kanade圖像對齊算法的目的是尋找到一個變換$W$，使模板圖像$T(\mathbf{x})$對齊圖像$I(x)$，其中， 表示像素坐標(biāo)組成的列向量。如果使用Lucas-Kanade計算從$t=1$時刻到$t=2$時刻光流問題或者跟蹤圖像塊。則$T(\mathbf{x})$表示在$t=1$時刻提取到的圖像區(qū)域塊，$I({\mathbf{x}}^{\prime })$則表示$t=2$時刻的圖像。

定義$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$為待解析的變換，其由參數(shù)$\mathbf{p}=(p_1,p_2,...,p_n)$構(gòu)成。 變換將像素$\mathbf{x}$從第$t=1$時刻T對應(yīng)的坐標(biāo)系下變換到$t=2$時刻I對應(yīng)的坐標(biāo)系下。

當(dāng)計算光流時，$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$可能會由以下公式進(jìn)行表示：
$$W(x;p)=\left(\begin{array}{c}x+p_1\\ y+p_2\end{array}\right)$$
其中，$\mathbf{p}=(p_1,p_2{)}^{\text{T}}$參數(shù) 為要解析的光流運(yùn)動。
當(dāng)計算圖像塊的3D運(yùn)動時，$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$可能會由以下公式進(jìn)行表示：

其中，參數(shù)$\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6{)}^{\text{T}}$,該實例1992年被Bergen等人實現(xiàn)。

2.1 Lucas-Kanade算法思想

Lucas-Kanade算法用于圖像對齊的誤差函數(shù)：
$$r(x;p)=I(W(x;p))?T(x)$$
其構(gòu)成最小二乘均方誤差函數(shù)：
$$f(p)=\sum _{\mathbf{x}}[r^2(\mathbf{x};\mathbf{p})]=\sum _{\mathbf{x}}[I(W(x;p))?T(x){]}^2$$

即最小化兩幀圖像之間的均方誤差，$T$為中$t=1$時刻中提取的圖像模板塊，$\mathbf{x}$為像素坐標(biāo)向量，通常各個像素之間不相關(guān)。$I$為$t=2$時刻的圖像，$\mathbf{W}$將$\mathbf{x}$從$T$的坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換到$I$的坐標(biāo)系下，因此，轉(zhuǎn)換后可能得到亞像素坐標(biāo)，因此需要通過插值得到亞像素在I上對應(yīng)的灰度值。
該問題是一個非線性最小二乘問題，求解該問題使用迭代求解參數(shù)p，使用?p來表示迭代的參數(shù)增量，
$$\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}+?\mathbf{p}$$

誤差隨之表示為：
$$f(\mathbf{p}+?\mathbf{p})=\sum _{\mathbf{x}}[\mathbf{I}(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p}))?\mathbf{T}(\mathbf{x}){]}^2$$
典型的收斂條件是$?\mathbf{p}$的范數(shù)小于一定的閾值$?$

2.2 Lucas-Kanade問題的導(dǎo)數(shù)

求解非線性二乘問題通常需要計算誤差方程的雅可比矩陣，即導(dǎo)數(shù)。

首先誤差函數(shù)的在參數(shù)p處的泰勒展開式為：
$$r(x;p)=I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))+?I{|}_{\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})}\frac{?W}{?p}{|}_{\mathbf{p}}?p?T(x)$$
誤差方程雅可比矩陣：
$$J_r=?I\frac{?W}{?p}$$
代入均方誤差方程：

上式中：
$?I=(?I/?x,?I/?y)$ 為關(guān)于圖像I在$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$處的圖像梯度
$?\mathbf{W}/?p$為W關(guān)于p的雅可比矩陣，

對均方差方程的雅可比矩陣：

使用最速下降法來確定下降的方向：下降方向，常數(shù)2省

使用最速下降法，需要對海森陣H進(jìn)行求逆，因此存在一定不可逆情況，且計算量大。
非線性最小二乘問題可以近似H陣，減少計算量，同時保證海森陣的正定性。

2.3 Lucas-Kanade算法的求解過程（正向累加）：

迭代：
? 1 計算映射$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$及對應(yīng)的$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$;
? 2 計算誤差函數(shù)$T(x)?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$
? 3 計算$I$在$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$處的圖像梯度$?I$
? 4 計算映射方程$\mathbf{W}$在$(\mathbf{x};\mathbf{p})$的導(dǎo)數(shù)$?\mathbf{W}/?\mathbf{p}$
? 5 計算像素誤差方程的梯度方向 $?I?\mathbf{W}/?\mathbf{p}$
? 6 計算像素誤差方程構(gòu)成的均方誤差函數(shù)的海森矩陣$H={\sum }_x[J_r^T{J}_r]$
? 7 計算像素誤差方程構(gòu)成的均方誤差函數(shù)的梯度方向$J={\sum }_x[?I\mathbf{W}/?\mathbf{p}{]}^T[I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))?T(x)]$
? 8計算$?\mathbf{p}=H^{?1}J$
? 9 更新$\mathbf{p}：\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}+?\mathbf{p}$
當(dāng)$\Vert ?\mathbf{p}\Vert <?$時停止迭代。
上述流程的計算時間復(fù)雜度：N對應(yīng)像素個數(shù)；n對應(yīng)p參數(shù)個數(shù)

2.4 算法可行條件

Lucas-Kanade算法求解，只需要映射方程W(x;p)在p處可導(dǎo)

3 累積近似及組合求解算法

在上述通用的迭代方法，基于更新更新$\mathbf{p}：\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}+?\mathbf{p}$來逐步迭代下降均方差$f(p)={\sum }_x[I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))?T(x){]}^2$。除了迭代$\mathbf{p}$值這種通用的方法來迭代得到解，針對Lucas-Kanade問題，可以使用組合迭代求解的算法來進(jìn)行求解。即使用變換矩陣迭代代替單一的$\mathbf{p}$迭代。

3.1 合成求解算法

使用合成求解算法的思想是使用合成變換W作為迭代項取代使用參數(shù)p進(jìn)行迭代，
$$r(\mathbf{x};\mathbf{p})=I(\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p}))?T(x)$$
其迭代均方差方程如下：
$$\sum _x[I(\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p}))?T(x){]}^2$$
其迭代過程由更新$\mathbf{p}：\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}+?\mathbf{p}$，變?yōu)?br /> $$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})\leftarrow \mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})$$

等價性：$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})=\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p})=\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p})$

3.2 合成算法的泰勒展開及導(dǎo)數(shù)

首先誤差函數(shù)的在參數(shù)p處的泰勒展開式為：

誤差方程的雅可比矩陣：
$$J_r=I(\mathbf{W})\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{p}}$$
將誤差方程代入均方誤差方程：

此時，$?W/?p{|}_0$可以在初始時就計算完成。

其均方差雅可比矩陣的表示如下：

使用最速下降法來確定下降的方向：下降方向，常數(shù)2省

使用最速下降法，需要對海森陣$H$進(jìn)行求逆，因此存在一定不可逆情況，且計算量大。
非線性最小二乘問題可以通過高斯牛頓法來近似$H$陣，減少計算量，同時保證海森陣的正定性。

迭代步驟為：
$$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})\leftarrow \mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})\equiv \mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p})$$
3.3 合成算法求解流程

預(yù)先計算：
? 4 計算計算映射方程$\mathbf{W}$在$(\mathbf{x};0)$的導(dǎo)數(shù)$?\mathbf{W}/?\mathbf{p}$
迭代：
?1 計算映射$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$及對應(yīng)的$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$;
?2 計算誤差函數(shù)$T(x)?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$
?3 計算$?I(W)=?I{|}_{\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})}\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{x}}{|}_{\mathbf{W}(\mathbf{x};0)=\mathbf{x}}$
?5計算像素誤差方程的梯度方向$?I(W)\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{x}}$
?6 計算像素誤差方程構(gòu)成的均方誤差函數(shù)的海森矩陣$H={\sum }_x[J_r^T{J}_r]$
?7 計算像素誤差方程構(gòu)成的均方誤差函數(shù)的梯度方向$J={\sum }_x[?I(\mathbf{W})\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{x}}{]}^T[I(\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p}))?T(x)]$
?8計算KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …{\bf p=H^{-1} J
?9 更新$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})：\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})\leftarrow \mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})$
當(dāng)$\Vert ?\mathbf{p}\Vert <?$時停止迭代。

合成算法與求解過程與直接求迭代參數(shù)p的算法的不同之處在于：
? 1 第三步中$I$在$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$處的圖像梯度?I替換成求解$?I(\mathbf{W})$
? 2 $?\mathbf{W}/?\mathbf{p}$可以提前預(yù)計算
? 3 迭代從參數(shù)$\mathbf{p}$變成使用$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})$來進(jìn)行迭代

合成算法的計算時間復(fù)雜度：N對應(yīng)像素個數(shù)；n對應(yīng)p參數(shù)個數(shù)

3.4 合成算法的可行條件：

（1）映射W集合必須包含單位映射，即$\mathbf{W}(0;\mathbf{p})$
（2）映射集合需要是是半群(兩個元素通過指定運(yùn)算結(jié)果值仍位于該群，且此運(yùn)算滿足結(jié)合律)，在圖像領(lǐng)域中，很多映射都是半群，如旋轉(zhuǎn)矩陣，李群，李代數(shù)等。

3.5 兩種求解算法的等價性

兩者的均方差公式及泰勒展開式：

可知：兩者的等價性在于：

即$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p})$在$\mathbf{p}$處的導(dǎo)數(shù)與$\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};0+?\mathbf{p});\mathbf{p})$在$\mathbf{W}(\mathbf{x};0)$處的導(dǎo)數(shù)等價性：

即等價性的前提是滿足：
$$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p})=\mathbf{W}(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p});\mathbf{p})=\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p})$$

4 反向組合求解算法

上述兩種算法，無論是正向累積算法還是正向組合求解算法，都需要很大的計算量計算均方差方程雅可比及海森陣，且每次迭代都需要重新計算。因此，雅可比矩陣的計算與殘差項有關(guān)，因此，是否能夠計算近似固定的海森陣，從而可以提前預(yù)算海森陣。

每次迭代中，需要計算的項包括：圖像變換矩陣/方程(第一步)，圖像誤差(第二步)，均方差雅可比(第7步)，均方差海森陣(第8步)以及更新參數(shù)/組合變換。

4.1 反向合成算法思想

1998年Hager和Belhumeur提出反向求解算法，將目標(biāo)圖像I與模板圖像塊區(qū)域T進(jìn)行交換。其誤差函數(shù)如下公式所示：
$$r(\mathbf{x};\mathbf{p})=T(\mathbf{W}(\mathbf{x};0))?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$$
迭代方程：

$$r(\mathbf{x};\mathbf{p})=T(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}))?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$$
均方差方程如下公式所示：
$$f(\mathbf{p}+?\mathbf{p})=\sum _x[T(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}))?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})){]}^2$$
即對$t=1$時刻的圖像進(jìn)行變換，去擬合在t=2時刻I的圖像。

將第二節(jié)算法稱為正向累加算法，第三節(jié)算法稱作正向組合(合成)算法。將目標(biāo)圖像I與模板圖像塊區(qū)域T進(jìn)行交換的算法稱為反向累加及反向組合(合成)算法。

此時，更新變?yōu)?#xff1a;
$$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})\leftarrow \mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}{)}^{?1}$$

4.2 反向合成算法的泰勒展開及導(dǎo)數(shù)

首先誤差函數(shù)的在參數(shù)p處的泰勒展開式為：

誤差方程雅可比矩陣：

可知反向合成誤差方程雅可比矩陣可固定。
將誤差方程代入均方誤差方程：

均方差方程雅可比矩陣的表示如下：

使用最速下降法來確定下降的方向：下降方向，常數(shù)2省

使用最速下降法，需要對海森陣H進(jìn)行求逆，因此存在一定不可逆情況，且計算量大。
非線性最小二乘問題可以通過近似H陣，減少計算量，同時保證海森陣的正定性。

4.3 反向合成算法求解流程：

預(yù)算：
? 3 計算$T$在$\mathbf{W}(\mathbf{x};0)$的在梯度$?T{|}_{\mathbf{W}(\mathbf{x};0)}$
? 4 計算變換$\mathbf{W}$在$(\mathbf{x};0)$處的雅可比矩陣$\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{p}}{|}_0$
? 5 計算誤差雅可比(梯度) $J_r=?T\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{p}}$
? 6 計算海森陣$H={\sum }_x[J_r^T{J}_r]$
迭代：
? 1 計算圖像映射$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$及對應(yīng)的$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$;
? 2 計算誤差函數(shù)$T(x)?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$
? 7 計算均方差方程雅可比矩陣：$J={\sum }_x[?T\frac{?\mathbf{W}}{?\mathbf{p}}{]}^T[T(\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}))?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))]$
? 8計算迭代參數(shù)：$?\mathbf{p}=H^{?1}J$
? 9更新映射方程：$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})\leftarrow \mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}{)}^{?1}$
當(dāng)$\Vert ?\mathbf{p}\Vert <?$時停止迭代。
能夠看出，海森陣能夠預(yù)先計算。
反向合成算法的計算復(fù)雜度如下：

4.4 反向組合算法的可行條件

反向組合算法除了要滿足W半群的要求，另外需要滿足$\mathbf{W}$運(yùn)算的反向操作$°\mathbf{W}(\mathbf{x};?\mathbf{p}{)}^{?1}$，因此，反向組合算法要求映射$\mathbf{W}$滿足群的要求。視覺中的很多映射滿足此要求，SLAM中李群李代數(shù)也滿足此要求。

5 反向累加算法

5.1 反向累積算法思路

即正向累加算法的反向運(yùn)算，使用$?T$來近似$?I$，其誤差方程及誤差方程的雅可比計算如下：
$$r(\mathbf{x};\mathbf{p})=I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p}))?T(x)$$

5.3 泰勒展開及導(dǎo)數(shù)

首先誤差函數(shù)的在參數(shù)p處的泰勒展開式為：

誤差方程雅可比矩陣：

由于：$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))\approx T(\mathbf{x})$，可得：

此時，誤差方程的雅可比可以預(yù)算估計，代入誤差方程的雅可比矩陣：

對均方差方程：

均方差方程的雅可比矩陣：

使用最速下降法來確定下降的方向：下降方向，常數(shù)2省

使用最速下降法，需要對海森陣H進(jìn)行求逆，因此存在一定不可逆情況，且計算量大。
非線性最小二乘問題可以通過高斯牛頓法來近似H陣，減少計算量，同時保證海森陣的正定性。

將可提前預(yù)算的與不能提前預(yù)算的分開:

令：

則：
$H^{?1}=[\Sigma (p){]}^{?1}{H}_{?}[\Sigma (p){]}^{?T}$
迭代參數(shù)：

將上式可預(yù)算與不可預(yù)算項分開：
令：$?p_{?}=H_{?}{\sum }_x[?T\Gamma (x){]}^T[I(W(x;p+?p))?T(x)]$，得
$$?p=[\Sigma (p){]}^{?1}?p_{?}$$

5.3 總結(jié) Lucas-Kanade算法的求解過程

預(yù)算：
? 3 計算計算$T$在$\mathbf{x}$的在梯度$?T{|}_{\mathbf{x}}$
? 4 計算$\Gamma (\mathbf{x})=(?\mathbf{W}/?\mathbf{x}{)}^{?1}$
? 5 計算像素誤差方程的梯度方向$?T\Gamma (\mathbf{x})$
? 6 計算$H_{?}={\sum }_{\mathbf{x}}[?T\Gamma (x){]}^T[?T\Gamma (\mathbf{x})]$

迭代：
? 1 計算映射$\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p})$及對應(yīng)的$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$;
? 2 計算誤差函數(shù)$T(\mathbf{x})?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))$
? 7 計算像素誤差方程構(gòu)成的均方誤差函數(shù)的梯度方向$J={\sum }_{\mathbf{x}}[?T\Gamma (\mathbf{x}){]}^T[I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))?\mathbf{T}(\mathbf{x})]$
? 8 計算$?{\mathbf{p}}_{?}=H_{?}{\sum }_{\mathbf{x}}[?T\Gamma (\mathbf{x}){]}^T[I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p}))?T(\mathbf{x})]$
? 9 計算$[\mathbf{\Sigma }(\mathbf{p}){]}^{?1}$并更新$\mathbf{p}：\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}+[\mathbf{\Sigma }(\mathbf{p}){]}^{?1}?{\mathbf{p}}_{?}$
當(dāng)$\Vert ?\mathbf{p}\Vert <?$時停止迭代。

原論文中$?{\mathbf{p}}_{?}=H_{?}{\sum }_{\mathbf{x}}[?T\Gamma (\mathbf{x}){]}^T[?T(\mathbf{x})?I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}+?\mathbf{p}))]$，所以迭代使用$\mathbf{p}\leftarrow \mathbf{p}?[\mathbf{\Sigma }(\mathbf{p}){]}^{?1}?{\mathbf{p}}_{?}$

上述流程的計算時間復(fù)雜度：N對應(yīng)像素個數(shù)；n對應(yīng)p參數(shù)個數(shù)

5.4 算法可行條件

比較嚴(yán)格的使用場景，因為要保證$I(\mathbf{W}(\mathbf{x};\mathbf{p}))\approx T(\mathbf{x})$，此外，$\Sigma (\mathbf{p})$也需滿足可逆。

原文：Lucas-Kanade 20 Years On: A Unifying Framework

其他鏈接：
https://www-users.cse.umn.edu/~hspark/csci5561_F2019/hw2.pdf
https://github.com/yashorts/csci5561-cv-hw2

https://sites.google.com/site/olegkrivtsov/tutorials

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Lucas-Kanade 20 Years On 正反向/累加/合成求解算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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