文章目錄

• • 引言 抽象代數(shù)概述
  • 概念部分
  • • 1.集合上的n元運(yùn)算（定義）
    • 2.運(yùn)算封閉性（定義）
    • 3.代數(shù)系統(tǒng)（定義）
    • 4.運(yùn)算表（相關(guān)概念）
    • 5.同類型代數(shù)系統(tǒng)（定義）
  • 題型
  • • 附錄：相關(guān)概念介紹

引言 抽象代數(shù)概述

• 代數(shù)是數(shù)學(xué)的一門分支，大致可以分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。
• 初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程是否可以求解以及如何求出方程所有的根，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。
• 抽象代數(shù)也稱為近世代數(shù)，產(chǎn)生于19世紀(jì)。一般認(rèn)為法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦是近世代數(shù)的創(chuàng)始人，因?yàn)樗沟么鷶?shù)學(xué)作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)。

概念部分

1.集合上的n元運(yùn)算（定義）

定義：對(duì)于一個(gè)非空集合，從中取n個(gè)元素進(jìn)行映射，映射的結(jié)果為該集合中的唯一一個(gè)元素。

要求：能夠判斷某運(yùn)算是否是某一集合的n元運(yùn)算：
首先判斷集合是否為空集，接著判斷其n個(gè)元素和映射結(jié)果是否都屬于該集合。

示例（集合上的一元運(yùn)算）：

示例（集合上的二元運(yùn)算）：

2.運(yùn)算封閉性（定義）

定義：如果運(yùn)算結(jié)果仍然和參與運(yùn)算的運(yùn)算數(shù)在相同的一個(gè)集合中則稱該運(yùn)算具有封閉性，簡稱閉運(yùn)算。某一運(yùn)算對(duì)于某一個(gè)集合滿足封閉性是該運(yùn)算是該集合上的n元運(yùn)算的必要條件。

要求：能夠判斷某一集合上的某一運(yùn)算是否滿足封閉性。
運(yùn)算結(jié)果和運(yùn)算數(shù)都屬于同一個(gè)集合時(shí)才滿足封閉性。

運(yùn)算封閉性示例：

3.代數(shù)系統(tǒng)（定義）

定義：一個(gè)由非空集合和定義在該集合上的所有運(yùn)算所構(gòu)成的整體。

要求：能夠理解，并能根據(jù)題意列出運(yùn)算表。

代數(shù)系統(tǒng)示例：

4.運(yùn)算表（相關(guān)概念）

定義：表示一元或二元運(yùn)算的結(jié)果的二維表格。

要求：能夠看懂運(yùn)算表并進(jìn)行分析。

示例（一元運(yùn)算表和二元運(yùn)算表）：

5.同類型代數(shù)系統(tǒng)（定義）

定義：同類型代數(shù)系統(tǒng)需要滿足三個(gè)條件：兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的運(yùn)算數(shù)個(gè)數(shù)也相同，并且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)相同。

要求：能夠判斷兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否同類型。

題型

1.Mn ( R ) 上定義一個(gè)一元運(yùn)算可以是？

解析：概念題，考察集合上的運(yùn)算的概念。
Mn( R )表示n階實(shí)矩陣，其上的一個(gè)一元運(yùn)算可以是轉(zhuǎn)置、每個(gè)元素取相反數(shù)等等，這些運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果仍然屬于n階實(shí)矩陣集合。但是不能是求逆運(yùn)算，因?yàn)榍竽孢\(yùn)算要求這個(gè)n階實(shí)矩陣的行列式不為零，所以對(duì)于一個(gè)行列式為零的n階實(shí)矩陣，其求逆運(yùn)算的結(jié)果并不屬于n階實(shí)矩陣集合中。

2.設(shè)B={1,2}，寫出P(B)上的對(duì)稱差二元運(yùn)算表和~運(yùn)算的運(yùn)算表

解析：簡單理解題，考察作運(yùn)算表的方法。
P(B)表示的是B的冪集，即由B的子集構(gòu)成的集合，所以本題中P(B)即為{{},{1},{2},{1,2}}。二元運(yùn)算表中行號(hào)表示左運(yùn)算數(shù)，列號(hào)表示右運(yùn)算數(shù)，相應(yīng)的矩陣內(nèi)填寫運(yùn)算結(jié)果；一元運(yùn)算表的行號(hào)表示運(yùn)算元素。
本題的結(jié)果如下所示：

3.下面三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是同種類代數(shù)系統(tǒng)的是（）

解析：概念題，考察同種類代數(shù)系統(tǒng)的概念。
同種類代數(shù)系統(tǒng)要求代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算個(gè)數(shù)相同、代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)相同并且對(duì)應(yīng)運(yùn)算的運(yùn)算數(shù)相同，進(jìn)行逐一檢驗(yàn)即可。本題中三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算個(gè)數(shù)相同，均為3個(gè)；代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)相同，均為2個(gè)；但是對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)不同（V3中補(bǔ)集運(yùn)算是一元運(yùn)算），因此只有V1和V2是同種類代數(shù)系統(tǒng)，而V3不是同種類代數(shù)系統(tǒng)。

4.以下哪些運(yùn)算是不封閉的（）

解析：簡單理解題，考察運(yùn)算封閉性的概念。
自然數(shù)相減可能是負(fù)數(shù)，不滿足封閉性；整數(shù)相除可能是小數(shù)，不滿足封閉性；C選項(xiàng)中的運(yùn)算實(shí)際上是求出兩個(gè)數(shù)之間的質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)，運(yùn)算結(jié)果可能為0，0不在集合A中，不滿足封閉性，因此答案為ABC。

5.設(shè)A={1,2,3…10}，則下面哪些二元運(yùn)算*是封閉的（）

解析：簡單理解題，考察運(yùn)算封閉性的概念。
兩個(gè)數(shù)的最大值或最小值自然屬于這兩個(gè)數(shù)的集合，滿足封閉性；最大公約數(shù)一定屬于該集合，滿足封閉性；最小公倍數(shù)不一定屬于該集合，如9和10的最小公倍數(shù)90。因此本題的答案為ABC。

6.對(duì)于運(yùn)算+ - * |x-y| max min |x|，下列哪些集合對(duì)于該運(yùn)算封閉？

解析：簡單理解題，考察運(yùn)算封閉性的概念。
①對(duì)于加法運(yùn)算，整數(shù)加法、自然數(shù)加法、偶數(shù)加法都屬于原有集合，但是對(duì)于CD集合不成立，選項(xiàng)為ABE；
②對(duì)于減法運(yùn)算，整數(shù)減法和偶數(shù)減法都屬于原有集合，但是對(duì)于自然數(shù)和CD集合均不一定成立，因此選項(xiàng)為AE；
③對(duì)于乘法運(yùn)算，整數(shù)乘法、自然數(shù)乘法、偶數(shù)乘法都屬于原有集合，但是對(duì)于CD集合均不一定成立，因此選項(xiàng)為ABE；
④對(duì)于絕對(duì)值相減的運(yùn)算，整數(shù)集合、自然數(shù)集合、C選項(xiàng)集合和偶數(shù)集合都滿足封閉性，但是D選項(xiàng)集合不滿足，因此選項(xiàng)為ABCE；
⑤對(duì)于最大值最小值運(yùn)算，所有集合均滿足封閉性，選項(xiàng)為ABCDE；
⑥對(duì)于絕對(duì)值運(yùn)算，所有集合均滿足封閉性，選項(xiàng)為ABCDE。

附錄：相關(guān)概念介紹

映射：映射是指兩個(gè)非空集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于其中一個(gè)集合中的任意一個(gè)元素，在另一個(gè)集合中都存在唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系稱為映射。

Mn( R )：這是n階實(shí)矩陣的表示符號(hào)。

+n（n為下標(biāo)）：表示模n加法。

GCD和LCM：GCD表示求最大公約數(shù)；LCM表示求最小公倍數(shù)。

本系列的下一篇文章為：第二章：二元運(yùn)算性質(zhì)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数 笔记和题型连载：第一章（代数系统引入）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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