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从Maxwell方程组到波动方程

發布時間：2023/12/20 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了从Maxwell方程组到波动方程小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

Maxwell方程組是十九世紀最偉大的公式，代表了傳統物理學人對公式美學的孜孜追求，也影響了無數后來者的物理美學品味。

回顧歷史，當1864年，Maxwell發出那篇著名的《電磁場的動力學理論》時，實則列出了二十個公式，以總結前人的物理學成果，我們將分量公式合并為矢量，可以得到八個式子，即

名稱公式物理意義

總電流定律	$Jtot=J+?D?t\bold J_{tot}=\bold J+\frac{\partial\bold D}{\partial t}$	總電流等于傳導電流加位移電流
磁場方程	$μH=?×A\mu\bold H=\nabla\times\bold A$	磁場強度為矢勢的旋度
安培環路定理	$?×H=Jtot\nabla\times\bold H=\bold J_{tot}$	變化磁場產生電流
洛倫茲力	$E=μv×H??A?t???\bold E=\mu\bold v\times\bold H-\frac{\partial\bold A}{\partial t}-\nabla\phi$	磁場中運動電荷產生指向法線方向的力
電彈性方程	$E=1?D\bold E=\frac{1}{\epsilon}\bold D$	場強和電位移矢量的關系
歐姆定律	$E=1σJ\bold E=\frac{1}{\sigma}\bold J$	電流和電勢的關系
高斯定律	$??D=ρ\nabla\cdot\bold D=\rho$	電荷產生電場
連續性方程	$??J=??ρ?t\nabla\cdot\bold J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$	電荷變化產生傳導電流

以上符號分別表示

符號物理意義符號物理意義

$H\bold H$	磁場強度	$D\bold D$	電位移矢量
		$E\bold E$	電場強度
$J\bold J$	傳導電流密度	$ρ\rho$	自由電荷密度
$Jtot\bold J{tot}$	總電流密度
$A\bold A$	矢量勢	$?\phi$	標勢
$μ\mu$	磁導率	$σ\sigma$	電導率
$?\epsilon$	電容率

二十年后，Heaviside對這二十個公式進行重新編排，得到了我們熟悉的形式，并將其命名為麥克斯韋方程組：

$?×E=??B?t?×H=J+?D?t??D=ρ??B=0\begin{aligned} \nabla\times\bold E&=-\frac{\partial\bold B}{\partial t}\\ \nabla\times\bold H&=\bold J+\frac{\partial\bold D}{\partial t}\\ \nabla\cdot\bold D&=\rho\\ \nabla\cdot\bold B&=0\\ \end{aligned}$

而 $D,B,J\bold D, \bold B, \bold J$ 的定義，則作為物質方程而存在

$D=ε0E+P=ε0εE=εEB=μH=μ0H=μ0(H+M)J=σE\begin{aligned} &\bold D = \varepsilon_0\bold E+\bold P=\varepsilon_0\varepsilon\bold E=\varepsilon E\\ &\bold B = \mu H = \mu_0\bold H =\mu_0(\bold H+\bold M)\\ &\bold J = \sigma\bold E \end{aligned}$

其中， $P\bold P$ 為介質在外場作用下的電極化強度矢量； $M\bold M$ 為磁化強度矢量。

對于真空而言， $ε=ε0,μ=μ0\varepsilon=\varepsilon_0,\mu=\mu_0$ 皆為標量，且真空中點電荷與電流均為0，所以可以進一步寫為

$?×E=??B?t??D=0?×B=ε0μ0?E?t??B=0\begin{aligned} \nabla\times\bold E&=-\frac{\partial\bold B}{\partial t}\quad&\nabla\cdot\bold D = 0\\ \nabla\times\bold B &= \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\bold E}{\partial t}\quad&\nabla\cdot\bold B=0 \end{aligned}$

對上式中左側兩個旋度公式再取旋度，得到

$?×(?×E)=???t(?×B)=?ε0μ0?2E?t2?×(?×B)=ε0μ0??t(?×E)=?ε0μ0?2B?t2\begin{aligned} \nabla\times(\nabla\times\bold E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\bold B)=-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\bold E}{\partial t^2}\\ \nabla\times(\nabla\times\bold B)=\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\bold E)=-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\bold B}{\partial t^2}\\ \end{aligned}$

很多人對矢量的計算方法不太熟悉，所以下面著重推導一下 $?×(?×E)\nabla\times(\nabla\times\bold E)$ 。通過上標來表示空間分量，下標表示對空間坐標的導數，例如記空間矢量 $r?=(rx,ry,rz)\overrightharpoon{r}=(r^x,r^y,r^z)$ ，場強 $E=(Ex,Ey,Ez)\bold E=(E^x,E^y,E^z)$ ，記 $?Ex?y=Eyx\frac{\partial E^x}{\partial y}=E^x_y$ ，則

$?×(?×E)=?×[nx?ny?nz???x??y??zExEyEz]=?×[Eyz?Ezy,?(Exz?Ezx),Exy?Eyx]=[nx?ny?nz???x??y??zEyz?EzyEzx?ExzExy?Eyx]=[(Exyy?Eyyx)?(Ezzx?Exzz)?[(Exxy?Eyxx)?(Eyzz?Ezzy)](Ezxx?Exxz)?(Eyyz?Ezyy)]T=?[Ezzx+Eyyx+ExxxEzzy+Exxy+EyyyEzzz+Eyyz+Exxz]T+[Exxx+Eyxy+ExzzEyyy+Exyx+EyzzExzx+Eyzy+Ezzz]T=??2E+?(??E)\begin{aligned} \nabla\times(\nabla\times\bold E)&=\nabla\times \begin{bmatrix} \overrightharpoon{n^x}&\overrightharpoon{n^y}&\overrightharpoon{n^z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ E^x&E^y&E^z \end{bmatrix}\\ &=\nabla\times[E^z_y-E^y_z,-(E^z_x-E^x_z),E^y_x-E^x_y]\\ &=\begin{bmatrix} \overrightharpoon{n^x}&\overrightharpoon{n^y}&\overrightharpoon{n^z}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ E^z_y-E^y_z&E^x_z-E^z_x&E^y_x-E^x_y\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} (E^y_{xy}-E^x_{yy})-(E^x_{zz}-E^z_{xz})\\ -[(E^y_{xx}-E^x_{yx})-(E^z_{yz}-E^y_{zz})]\\ (E^x_{zx}-E^z_{xx})-(E^z_{yy}-E^y_{zy}) \end{bmatrix}^T\\ &=-\begin{bmatrix} E^x_{zz}+E^x_{yy}+E^x_{xx}\\ E^y_{zz}+E^y_{xx}+E^y_{yy}\\ E^z_{zz}+E^z_{yy}+E^z_{xx} \end{bmatrix}^T+\begin{bmatrix} E^x_{xx}+E^y_{yx}+E^z_{xz}\\ E^y_{yy}+E^x_{xy}+E^z_{yz}\\ E^x_{xz}+E^y_{yz}+E^z_{zz}\\ \end{bmatrix}^T\\ &=-\nabla^2\bold E+\nabla(\nabla\cdot\bold E) \end{aligned}$

其中， $?E=0\nabla\bold E=0$ ，所以可得到波動方程

$(?2?ε0μ0?2?t2)E=0(?2?ε0μ0?2?t2)B=0\begin{aligned} (\nabla^2-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2})\bold E=0\\ (\nabla^2-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2})\bold B=0\\ \end{aligned}$

令 $c=1ε0μ0c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$ ，并定義達朗貝爾算子 $□=?1c2?2?t2+?2\square=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2$ ，則波動方程可以寫為

$□B=0,□E=0\square\bold B=0,\square\bold E=0$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的从Maxwell方程组到波动方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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