地圖“四色定理”的公式推導 黎 鳴[@more@]

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地圖“四色定理”的公式推導 黎 鳴
定義一：D（２）表示全相鄰數等于２的地圖系統。其中主考慮面積完全被一個面積所完全包圍，如圖１所示。
定義二：D（３）表示全相鄰數等于３的地圖系統。其中又分三個亞類：
D（３—１）表示主考慮面積被兩個面積所完全包圍，如圖２所示；
D（３—２）表示主考慮面積被大于２的偶數個面積所完全包圍，如圖３所示；
D（３—３）表示主考慮面積被大于３的奇數個面積所完全包圍，如圖４所示。
定義三：D（４）表示全相鄰數等于４的地圖系統。其中主考慮面積正好被三個面積所完全包圍，如圖５所示。


定理一：任意一個地圖D系統都可以分解為D（２）、D（３）、D（４）三個子系統之和，如下式所示：
D＝D（２）＋D（３）＋D（４）
＝D（２）＋D（３—１）＋D（３—２）＋D（３—３）＋D（４）
其中：
D（３）＝D（３—１）＋D（３—２）＋D（３—３）
證明：一，存在性
根據公理一，任意地圖中的任意面積均處于與其相鄰的面積的全相鄰的關系之中，因此，此公式的存在性是顯然成立的。
二，相容性
根據公理二，以及定義一、二、三，上述公式中的所有一切項之間將不會發生矛盾性的情況，由此獲得相容性的證明。
三，完備性
根據公理一和公理二，上述公式的完備性是顯而易見的，將不會發生除了全相鄰數等于２、３、４之外的任何情況。
鑒于上述三個方面的證明，定理一獲得完全的證明。
定義四：只需兩種顏色即可分辨的地圖面積（國家、省、湖泊、海洋等）系統即稱作兩色性的地圖面積系統，并表示為A系統；
定義五：只需三種顏色即可分辨的地圖面積系統即稱作三色性的地圖面積系統，并表示為B系統；
定義六：只需四種顏色即可分辨的地圖面積系統即稱作四色性的地圖面積系統，并表示為C系統。
定理二：D（２）地圖面積系統等同于A系統。
定理三：D（４）地圖面積系統等同于C系統。
定理四：D（３—１）地圖面積系統屬于B系統；
D（２—２）地圖面積系統屬于B系統；
D（３—３）地圖面積系統屬于C系統。
上述的定理二、三可以不證自明。
定理四中的D（３—１）、D（３—２）屬于B系統的情況也同樣可以不證自明。
地理四中的D（３—３）的情況，與我在前面關于莫比烏斯帶的討論類似，因此屬于不能不用四色進行分辨的特例，所以屬于C系統。
定理五：任意地圖系統D均可以分解為由兩色、三色、四色性地圖面積系統組成之和，如下式所示：
D＝A＋B＋C
證明： 根據定理一：
D＝D（２）＋D（３）＋D（４）
＝D（２）＋D（３—１）＋D（３—２）＋D（３—３）＋D（４）
根據定理二、三、四，
D（２）屬于A，D（３—１）、D（３—２）屬于B，D（３—３）、D（４）屬于C，所以有：
D＝A＋B＋C 證畢。
定理六：如果全地圖D總共含有S個單位面積（國家、省、湖泊、海洋等）；
如果二色性地圖面積系統總共含有m個單位面積；
如果三色性地圖面積系統總共含有n個單位面積；
如果四色性地圖面積系統總共含有l個單位面積，那么有：
D[S]＝A[m]＋B[n]＋C[l]，并且其中有：
S＝m＋n＋l
證明：根據定理一的存在性、相容性、完備性，定理六將可不證自明。
因為一切地圖都將可以僅僅分解為二色性、三色性和四色性三種地圖面積系統之和，所以地
圖的四色猜想完全成立，并成為四色定理。
上面為“四色猜想”問題的公理性證明，此外還有生成性證明和歸納法證明，這兩種證
明我留待網友們去完成。后面，我們將利用上述的定理證明一些特型地圖的色性關系，包括以中國地圖為例的一個完全解析的示范。（待續）（０６，１２，１２。）

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總結

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