變換常常可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析和求解過(guò)程。人們常會(huì)在這樣那樣的場(chǎng)合使用這一技巧。在科學(xué)研究的許多領(lǐng)域,人們發(fā)現(xiàn)傅里葉變換(FT)對(duì)于問(wèn)題的求解和簡(jiǎn)化特別有用。

傅里葉變換方法又稱為譜分析方法，具有普適性。例如線性系統(tǒng)輸出的傅里葉變換是輸入信號(hào)和系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)傅里葉變換的乘積。天線的方向圖是其發(fā)射電流的傅里葉變換。在光學(xué)系統(tǒng)中，會(huì)聚透鏡的前焦和后焦面上的振幅分布存在傅里葉變換關(guān)系。一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度由該過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換確定。許多常微分方程和偏微分方程的解可利用傅里葉變換求得。這些截然不同領(lǐng)域的有關(guān)問(wèn)題可以通過(guò)傅里葉變換聯(lián)系在一起。

傅里葉變換可以看作是時(shí)間域上的函數(shù)在頻率域上的表示。而且其傅里葉變換譜函數(shù)在頻率域中包含的信息和原時(shí)間域函數(shù)所包含的信息是等價(jià)的，不同的僅是信息的表述方式。譜分析方法的基本思想來(lái)源于經(jīng)典的Ritz-Galerkin方法。由于許許多多問(wèn)題都可應(yīng)用傅里葉變換，因此計(jì)算數(shù)學(xué)很自然地將傅里葉變換離散化產(chǎn)生所謂離散傅里葉變換(DFT)，然后使用計(jì)算機(jī)求解。當(dāng)然這時(shí)需要研究連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換的關(guān)系，需要研究離散傅里葉變換的性質(zhì)并尋求離散傅里葉變換好的快速計(jì)算方法。

在譜分析方法中，大多數(shù)情況下原函數(shù)不是局部支集的，所以譜函數(shù)在每一點(diǎn)上的值都與原函數(shù)在所有點(diǎn)上的值有聯(lián)系，因此由逼近方法導(dǎo)出的代數(shù)方程組中系數(shù)矩陣基本上是滿的，求解計(jì)算量太大。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)求解一個(gè)N點(diǎn)數(shù)據(jù)離散傅里葉變換的復(fù)數(shù)乘法計(jì)算量正比于N2。為了減少離散誤差，必須取很大的N。但當(dāng)N很大，即便使用高速計(jì)算機(jī)，其運(yùn)算時(shí)間還是太長(zhǎng)，是不可實(shí)現(xiàn)的。因此在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，傅里葉變換方法沒(méi)有得到應(yīng)有的重視、發(fā)展和應(yīng)用。

人們不懈地尋找減少離散傅里葉變換計(jì)算量的方法和技術(shù)。直至1965年，Cooley-Tukey發(fā)表的算法，才得到人們認(rèn)同。人們稱之為“快速傅里葉變換(FFT)”方法。對(duì)于長(zhǎng)度為N的復(fù)序列，它的復(fù)數(shù)乘法計(jì)算量為O(Nlog2N)，因此計(jì)算量的節(jié)省是巨大的。更值得重視的是對(duì)于多維問(wèn)題，其快速傅里葉變換復(fù)數(shù)乘法計(jì)算量并不按數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)指數(shù)形式增加。例如對(duì)于N×N×N個(gè)點(diǎn)的三維離散傅里葉變換，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N3，其快速傅里葉變換復(fù)數(shù)乘法計(jì)算量為O(3N3log2N)=O(N3log2N3)。總之FFT算法有效地解決了傅里葉變換計(jì)算量太大的問(wèn)題。FFT算法的出現(xiàn)使得傅里葉變換的研究和應(yīng)用的面貌出現(xiàn)根本轉(zhuǎn)變。人們開(kāi)始重新考慮它的優(yōu)點(diǎn)，越來(lái)越多地將它用于解決各種各樣的實(shí)際問(wèn)題。例如在雷達(dá)、聲納、地震勘探、通信、醫(yī)療、氣象、射電天文學(xué)等領(lǐng)域FFT算法都得到了廣泛的應(yīng)用。目前FFT算法仍處于蓬勃發(fā)展的狀態(tài)，與之相應(yīng)的計(jì)算數(shù)學(xué)的這個(gè)重要分支也處于迅速發(fā)展之中。

本書(shū)共分5章。第1章首先討論周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，傅里葉積分及其收斂性。以此為基礎(chǔ)討論傅里葉變換的定義和存在條件、傅里葉變換的實(shí)例、廣義函數(shù)的傅里葉變換。傅里葉變換的性質(zhì)、對(duì)稱關(guān)系和傅里葉變換的常用形式。

第2章首先介紹離散時(shí)間序列的傅里葉變換，進(jìn)而討論離散傅里葉變換的定義和性質(zhì)。具體討論實(shí)序列的離散傅里葉變換的性質(zhì)、離散正弦變換和離散余弦變換，離散傅里葉級(jí)數(shù)及其最佳平方逼近。最后討論頻譜混疊和頻譜滲漏問(wèn)題，給出連續(xù)和離散傅里葉變換之間的關(guān)系。

第3章討論離散傅里葉變換快速算法的基本原理，給出復(fù)序列基2算法及其相關(guān)程序。該算法和程序構(gòu)成本書(shū)FFT算法的核心和基礎(chǔ)。進(jìn)而利用FFT程序給出了實(shí)序列的傅里葉變換、離散正弦變換、離散余弦變換，傅里葉級(jí)數(shù)、譜函數(shù)近似計(jì)算、功率譜估計(jì)等問(wèn)題的快速算法和相關(guān)程序。

第4章討論一維卷積及其性質(zhì)和物理意義。離散卷積的定義，離散卷積定理，離散卷積和連續(xù)卷積的關(guān)系。給出利用FFT算法和程序求卷積和解卷積的快速算法和實(shí)用程序。本章還討論相關(guān)、離散相關(guān)和離散相關(guān)定理，并利用FFT算法和程序給出離散相關(guān)的快速算法和實(shí)用程序。

第5章主要討論多維傅里葉變換問(wèn)題，給出二維、三維和n維傅里葉變換定義及其性質(zhì)。具體討論二維復(fù)序列2D-DFT的行列算法和二維實(shí)序列2D-DFT的行列算法、存儲(chǔ)技術(shù)及其相關(guān)程序。對(duì)于三維復(fù)序列的3D-DFT給出2D-DFT行列算法的一個(gè)推廣及其相關(guān)程序。對(duì)三維實(shí)序列3D-DFT給出了降維算法及其相關(guān)程序。這兩種3D-DFT的快速算法皆可方便地推廣應(yīng)用于更高維的傅里葉變換的快速計(jì)算問(wèn)題。

總之,本書(shū)給出了傅里葉變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，離散傅里葉變換和連續(xù)傅里葉變換的關(guān)系。各種和傅里葉變換相關(guān)問(wèn)題的快速算法及其具體實(shí)現(xiàn)C語(yǔ)言程序。在編程中，一般將C語(yǔ)言程序分為兩部分，即一個(gè)包含主函數(shù)的文件和一個(gè)或幾個(gè)包含功能子函數(shù)的文件。主函數(shù)文件主要是設(shè)置參數(shù)，提供初始數(shù)據(jù)，調(diào)用功能子函數(shù)和輸出計(jì)算結(jié)果。讀者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題和需要，可參照書(shū)中的實(shí)例對(duì)主函數(shù)作必要的修改。功能子函數(shù)主要具體實(shí)現(xiàn)算法，可直接調(diào)用。本書(shū)程序皆用Visual C++6.0調(diào)試通過(guò)。由于例題計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)量太大，數(shù)據(jù)文件皆不收入本書(shū)。

本書(shū)由蔣長(zhǎng)錦和電子科學(xué)與技術(shù)系2002級(jí)碩士生蔣勇合作完成。前者負(fù)責(zé)組稿和撰寫(xiě)，后者完成程序的編制和調(diào)試。

作者感謝中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)教務(wù)處、出版社、理學(xué)院和數(shù)學(xué)系等部門對(duì)本書(shū)編寫(xiě)的關(guān)心和支持。感謝李洪梅、蔣智同志為排版付出的辛勤勞動(dòng)。感謝夫人吳康平為保證作者全身心投入寫(xiě)作作出的無(wú)私奉獻(xiàn)。

限于作者水平，本書(shū)難免仍存在不妥和錯(cuò)誤，懇切希望讀者批評(píng)、指正和諒解。

作者

2004年6月于中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的快速傅里叶c51语言程序,快速傅里叶变换及其C程序的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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