文章目錄

• 0. 參考文獻
• 1. 什么是平衡點
• 2. 什么是李雅普諾夫穩定
• • 2.1 李雅普諾夫穩定
  • 2.2 漸進穩定
  • 2.3 大范圍漸進穩定
  • 2.4 不穩定
• 3. 李雅普諾夫第一法
• 4. 李雅普諾夫第二法

0. 參考文獻

【１】https://zhuanlan.zhihu.com/p/58738073
這個文章寫的已經非常透徹了，沒什么好說的，本文全文摘抄

1. 什么是平衡點

看一個倒立擺的例子：

這個倒立擺的狀態方程第一行，沒什么好說的，狀態量就角度和角速度。
第二行，對小球進行受力平衡分析把$J_t$乘過去就比較容易看出來了

注意上面這一段，將輸入設成０，也就是０輸入系統，會自然進行擺動
因為很多量都是常數，所以作者自己造了一個火箭：


這里其實也可以拿手畫，就是比較復雜



上面關于平衡點的解釋還是非常直觀的，狀態方程左側都是狀態的導數，右側都是狀態的函數，我們只要在圖上選一個狀態點，根據狀態點，求出在該狀態下的，狀態的導數，就是那個圖上的箭頭。同樣的，我們要找平衡點，就是讓導數等于零，然后取求解狀態

上面這一段，還有下面的描述是不是有點問題啊？不是豎直放置不穩定，是豎直向上放置不穩定，豎直向下放置穩定
下面這一段中不是火箭水平躺著，是火箭豎直向下

2. 什么是李雅普諾夫穩定

李雅普諾夫穩定性理論研究的是在擾動下平衡點的穩定性問題。

受到擾動，停留在“附近”

受到擾動，“收斂”到平衡點

受到“任何”擾動，“收斂”到平衡點

受到擾動，偏離平衡點

2.1 李雅普諾夫穩定

這是一個線性系統

真的這么容易嗎，看來又要復習了

下面這個關鍵的來了



上面這個例子是里面的向外走，外面的向里走，共同走到同一個圈上

2.2 漸進穩定

2.3 大范圍漸進穩定

注意下面這兩個結論

2.4 不穩定

3. 李雅普諾夫第一法

在平衡點附近線性化

4. 李雅普諾夫第二法

注意這個標量函數的一些條件：首先這個標量函數是狀態量的函數，并且在x!=0時是非負的，如果這個標量函數對時間的求導小于等于０。那么就是李雅普諾夫穩定的

注意這個標量函數，要我們自己取找才行，并且找到一個就行，不用找很多



注意看上面，這個李雅普諾夫函數是我們自己選的，然后自己去試試導數行不行

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李雅普诺夫稳定的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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