9-4目錄 李氏穩定性理論的簡介 向量和矩陣的范數 矩陣范數 二次型函數及矩陣表示 二次型函數的定號性 正定的充要條件 判斷定號性 兩種方法證明正定 系統穩定分類 對象及其平衡狀態 李雅普諾夫意義下的穩定性 漸近穩定 大范圍(全局)漸近穩定性 不穩定 定理1 、2、3 分析系統漸近穩定 例題 李雅普諾夫第二方法簡介 李雅普諾夫函數及穩定性定理 在原點漸近穩定 幾何意義 例題 定理3 定理4 例題 例題 討論 討論續 線性系統穩定性分析 漸近穩定的充要條件 例題 例題續 MATLAB 離散系統李雅普諾夫穩定性 小結 解： 【例】 設系統狀態方程如下，試分析其穩定性。 定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 是大范圍一致漸進穩定 定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 我們通過下列MATLAB程序求P 矩陣： %LYAP example 4-3 A=[0 1;-1 -1]; A=A'; ％將A轉置 Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A,Q) end 運行結果為：P = 1.5000 0.5000 0.5000 1.0000 MATLAB中有一個LYAP(A,Q)函數可以求出如下形式的李雅普諾夫方程： ????????????????????? ATP+PA=-Q 定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 Page: * 現代控制理論 Modern Control Theory 1.李雅普諾夫意義下的穩定性 2.李雅普諾夫第一法(間接法) 3.李雅普諾夫第二法(直接法) 4.線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析 穩定性是一個控制系統工作的首要、必要條件。 經典控制理論判穩方法： 勞斯判據、根軌跡法、奈氏判據、對數頻率判據: 適用范圍：線性定常系統，不適用于非線性和時變系統。 描述函數法: 要求系統線性部分具有良好的濾波性能。 相平面法: 只適合于一階、二階非線性系統。 1892年俄國學者李雅普諾夫(Lyapunov)提出的穩定性理論 不僅適用于單變量線性系統，還適用于多變量、非線性、時變 系統,它是確定系統穩定性的更一般理論。 1、向量空間上的歐幾里德范數(即向量長度) 其歐幾里德范數定義為： 一般 一、向量和矩陣的范數 預備知識 矩陣 的范數定義為： 【例】 ， 則 即:矩陣每個元素平方和開根號 預備知識 2、矩陣范數 1．二次型函數：由n個變量 組成的二次齊次多項式，稱(n元)二次型函數 2．二次型函數的矩陣表示 通常P為對稱方陣 預備知識 二、二次型函數及矩陣表示 1)正定：若對于任何 ，總有 設二次型函數 2)正半定： 為正半定，P為正半定陣 (P≥0) 稱 P稱為負定陣，記作P<0 3) 負定：若 -V(x)正定，則稱V(x)負定 4) 負半定： 預備知識 3．二次型函數的定號性 5) 不定：能找到 -x≠0，使 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 稱其為不定 實二次型 是正定的充要條件是矩陣 的各順序主子行列式均大于零， ， ，…， 則 正定，且稱 為正定矩陣。 當矩陣 的各順序主子行列式負、正相間時，即 ， ，…， 則 負定，且稱 為負定矩陣。 預備知識 【例】設X為二維向量，判其定號性。 1) 2) 3) 4) 5) 不定 半負定 負定 半正定 正定 【例】試用兩種方法證明下列二次型函數式正定的？ 解： [方法一] 順序主子式法： [方法二]：配方法 當 x≠0時，V(x)>0, 所以正定 一、系統穩定分類 1、外部穩定性： 若系統對所有有界輸入引起的零狀態響應的輸出是有界的， 則稱該系統是外部穩定的。 (外部穩定性也稱為BIBO(Bounded Input Bounded Output)穩定性) 線性定常連續系統 的傳遞函數矩陣為 當且僅當 極點都在s的左半平面內時，系統才是外部穩定(或BIBO穩定)的。 2、內部穩定性： 系統在受到小的外界擾動后，系統狀態方程解的收斂性，而與輸入作用無關。 系統的穩定性都是相對平衡狀態而言的。 李雅普諾夫穩定性 二、對象及其平衡狀態 1、系統： 其解： 李氏穩定性問題就是研究系統在其平衡狀態附近自由運動的行為特征。 2、自治系統： 沒有外界輸入作用的系統叫自治系統。 對于此無外加激勵系統，能維持在某狀態不再變化 即 則稱 為該系統的一個平衡狀態。 設系統狀態方程為： 3、平衡狀態： 李雅普諾夫穩定性 三、 李雅普諾夫意義下的穩定性定義 定義： 1.李雅普諾夫意義下的

總結

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