現代控制理論（二）李雅普諾夫穩定性分析

• 一、李雅普諾夫穩定性概念
• • 1、平衡狀態
  • 2、李雅普諾夫穩定性定義(通俗理解)
• 二、李雅普諾夫穩定性間接判別法(第一方法)
• 三、李雅普諾夫穩定性直接判別法(第二方法)
• • 定理一：V(x,t)正定；V'(x,t)負定；原點漸進穩定。
  • 定理一：V(x,t)正定；V'(x,t)負半定，且在非零狀態不恒為0；原點漸進穩定。
  • 定理一：V(x,t)正定；V'(x,t)負半定，且在非零狀態恒為0；原點李雅普諾夫穩定。
  • 定理一：V(x,t)正定；V'(x,t)正定；原點不穩定。

??穩定性描述系統受到外界干擾，平衡工作狀態被破壞后，系統偏差調節過程的收斂性，它是系統正常工作的必要條件。
??經典控制理論用代數判據、奈奎斯特判據、對數頻率判據、特征根判據來判斷線性定常系統的穩定性，用相平面法來判斷二階非線性系統的穩定性。這些穩定性判據無法滿足以多變量、非線性、時變為特征的現代控制系統對穩定性分析的要求。
??李雅普諾夫建立了基于狀態空間描述的穩定性理論，提出了依賴于線性系統微分方程的解來判斷穩定性的第一方法(間接法)和利用經驗和技巧來構造李雅普諾夫函數借以判斷穩定性的第二方法(直接法)。李雅普諾夫提出的這一理論是確定系統穩定性的更一般的理論，不僅適用于單變量、線性、定常系統，還適用于多變量、非線性、時變系統。

一、李雅普諾夫穩定性概念

??忽略輸入之后，非線性時變系統的狀態方程為

??式中，x為n維狀態向量；t為時間變量；f為維函數，假定方程的解為

??x0和t0分別是初始狀態的狀態向量和時刻。

1、平衡狀態

??如果對于所有的t，滿足：

??的狀態xe稱為平衡狀態(平衡點)。平衡狀態的各分量不再隨時間變化。若已知狀態方程，讓x的一階導為0所得到的解x就是平衡點。對于線性定常系統，只要矩陣A非奇異，系統就有唯一的零解，即僅存在一個位于狀態空間原點的平衡狀態。至于非線性系統，解可能有多個，由系統狀態方程決定。
??控制系統李雅普諾夫穩定性理論所指的穩定性是關于平衡狀態的穩定性，反映了系統在平衡狀態附近的動態行為。鑒于實際線性系統往往只有一個平衡狀態，平衡狀態的穩定性能夠表征整個系統的穩定性。對于具有多個平衡狀態的非線性系統來說，由于各平衡狀態的穩定性一般不同，需要逐個加以考慮，還需要結合初始條件下的系統運動軌跡來考慮。

2、李雅普諾夫穩定性定義(通俗理解)

（1）李雅普諾夫穩定性(局部穩定)：
??如果平衡狀態xe受到擾動后，仍然停留在xe 附近，我們就稱xe 在李雅普諾夫意義下是穩定的，也就是說系統初始狀態離平衡狀態的距離是在 xe 的領域內，過了有限時間，系統動態方程的解離平衡狀態的距離仍在epsilon的領域內。如果 delta與t0無關，則稱這個平衡狀態是一致穩定的。

（2）漸進穩定性
??如果平衡狀態 xe 受到擾動后，最終都會收斂到 xe ，我們就稱 xe 在李雅普諾夫意義下是漸進穩定的，也就是說不僅需要滿足李亞普諾夫意義下的穩定性的要求，同時最后這個解要無限逼近平衡狀態/平衡點，最后收斂。

（3）大范圍穩定性(全局穩定)
??如果平衡狀態 xe 受到任何擾動后，最終都會收斂到 xe ，我們就稱 xe 在李雅普諾夫意義下是大范圍內漸進穩定的，也就是說從狀態空間上任意一點出發，最后都能收斂到平衡狀態/平衡點。

（4）不穩定性
??如果平衡狀態 xe 受到某種擾動后，狀態開始偏離 xe ，我們就稱 xe 在李雅普諾夫意義下是不穩定的。

二、李雅普諾夫穩定性間接判別法(第一方法)

間接法是利用狀態方程的解的特性來判斷系統穩定性的方法，它適用于線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統。

??線性定常系統的特征值判據：

??上述系統漸進穩定的充分必要條件是：系統矩陣A的全部特征值位于復平面左半部。

三、李雅普諾夫穩定性直接判別法(第二方法)

直接法是利用李雅普諾夫函數直接對平衡狀態穩定性進行判斷，無需求出系統狀態方程的解，它適用于各種控制系統。

??一個非常天才的想法,穩定的系統能量總是不斷被耗散的,隨著時間的推移，系統遲早會到達穩定狀態。實際系統的能量函數表達式相當的難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數，稱之為李雅普諾夫函數。

??李雅普諾夫函數：與x1，x2…xn及t相關，是一個標量函數，記為V(x,t)。考慮到能量總大于0，故為正定函數，能量衰減用V(x,t)的一階導數表示。不過迄今為止沒有形成構造李雅普諾夫函數的通用方法，需要經驗和技巧。實踐表明，對于大多數系統，可先嘗試一下的二次型函數作為李雅普諾夫函數。

判斷定理：

定理一：V(x,t)正定；V’(x,t)負定；原點漸進穩定。

定理一：V(x,t)正定；V’(x,t)負半定，且在非零狀態不恒為0；原點漸進穩定。

定理一：V(x,t)正定；V’(x,t)負半定，且在非零狀態恒為0；原點李雅普諾夫穩定。

定理一：V(x,t)正定；V’(x,t)正定；原點不穩定。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论（二）李雅普诺夫稳定性分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。