平面方程(Plane Equation)

原文鏈接：http://www.songho.ca/math/plane/plane.html 翻譯：羅朝輝 (http://www.cnblogs.com/kesalin/) 本文遵循“署名-非商業(yè)用途-保持一致”創(chuàng)作公用協(xié)議 平面方程

平面上的一點(diǎn)以及垂直于該平面的法線唯一定義了 3D 空間的一個(gè)平面。

(圖一) 3D 空間的平面

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在圖一中，給定法線向量? ，以及平面上的一點(diǎn) P_1，對(duì)于平面上的任意一點(diǎn) P ，我們可以在平面上定義一個(gè)由 P₁?指向 P 的向量：

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因?yàn)榉ň€??垂直于平面，它必定也垂直于位于平面上的向量?，因此它們的點(diǎn)積為 0 ：

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以上就是平面方程的向量形式，下面我們來看代數(shù)形式的，通過點(diǎn)積計(jì)算，我們得到：

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?? ? ?如果我們用??來替代上面表達(dá)式中的常數(shù)部分，就得到平面方程的代數(shù)形式：

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原點(diǎn)到平面的距離

如果法線是歸一化的，那么平面方程中的常數(shù)表達(dá)式 d 就是原點(diǎn)到平面的距離。

（圖二）平面和歸一化法線

如圖二中，給定歸一化法線向量 (a₁, b₁, c₁)，以及平面上的一點(diǎn) P₁?(Da₁, Db₁, Dc₁)，我們來推導(dǎo)原點(diǎn)到平面的距離?D。 將法線向量(a₁, b₁, c₁) 和點(diǎn) P1 代入平面方程，得到：

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因此，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)平面方程除以法線的模（法線長(zhǎng)度）來計(jì)算原點(diǎn)到平面的距離。舉個(gè)例子，原點(diǎn)到以?(1, 2, 2) 為法線的平面（x + 2y + 2z - 6 = 0）的距離為 2，計(jì)算過程如下：

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任意點(diǎn)到平面的距離

(圖三) 任意點(diǎn)到平面的距離

如圖三中，我們來推導(dǎo)空間中任意一點(diǎn) P2 到平面的距離 D 的計(jì)算公式。P2 到平面的距離等于由 P1 指向 P2 的向量??在法線向量??上的投影。我們用點(diǎn)積來計(jì)算投影距離 D ：

?? ? ??? ? ?

展開分子??：

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代入前面的距離公式，得到最終的點(diǎn)到平面的距離公式：

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觀察上面的式子，我們就可以發(fā)現(xiàn)距離 D 是將點(diǎn) P2 代入平面方程中，再除以法線的模得到的。舉個(gè)例子，點(diǎn)(-1, -2, -3)到平面?x + 2y + 2z - 6 = 0?的距離為：

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注意：距離是有符號(hào)的！它可以為負(fù)值，我們可以通過這個(gè)符號(hào)來決定點(diǎn)位于平面的哪一邊(D > 0，點(diǎn)在平面的正面-法線指向那一邊；D < 0，帶在平面的反面-法線相反方向的那一邊，當(dāng)然 D = 0 就是在平面上啦！)。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/kesalin/archive/2009/09/09/plane_equation.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的平面方程(Plane Equation)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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