前言【高等數學教程（單變量微積分）】

1. 什么是高等數學？

目前大部分高等院校教授的高等數學(advanced mathematics)課程內容主要是微積分(calculus)。

1.1 微積分的發明

微積分有兩位主要的發明人，牛頓和萊布尼茨。

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牛頓除了是數學家，還是物理學家，他研究微積分，在很大程度上是為了解決力學問題。

第一個就是有關加速度、速度和距離的關系。這三者的關系只能通過微積分來描述，加速度是速度的導數，速度又是距離的導數。

第二個是動量和動能，以及撞擊力的關系。動量是動能的導數，撞擊力是動量的導數。

第三個是天體運行的向心加速度問題，它是速度的導數，而萬有引力則是向心加速度的來源。

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萊布尼茨除了是數學家，還是一個哲學家和邏輯學家。他的哲學思想和邏輯思想概括起來有兩點。

我們所有的概念都是由非常小的、簡單的概念復合而成，它們如同字母或者數字，形成了人類思維的基本單位。

這在微積分上反映出他提出了微分dx、dy這樣無窮小的概念。

簡單的概念復合成復雜概念的過程是計算。

比如在計算曲線和坐標軸之間的面積時，萊布尼茨的思想是把這個不規則形狀拆分成很小的單元，然后通過加法計算把它們組合起來。

基于這樣的哲學思想，萊布尼茨把微積分看成是一種純數學的公具，這個工具把宏觀的數量，拆解為微觀的單元，再把微觀的單元，合并成宏觀的積累，這便是微分與積分。

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微積分發明權之爭長達幾個世紀，我們今天使用的微積分的符號，大部分是萊布尼茨留下的。現在比較公認的觀點是兩人共同發明了微積分。

1.2 微積分的主要內容

微積分是關于運動和變化的數學，主要分為微分和積分兩部分內容，微分學把復雜的問題分割成無窮多個簡單的部分，而積分學則把這些部分重新組合到一起，去解決原本那個更復雜的問題。

1.2.1 微分

中學的時候我們已經學過了導數，導數再往前一點就是微分。

在高中學習瞬時速度的時候，瞬時速度V等于Δt趨于0時，ΔS除以Δt的值，ΔS就是位移的微分。

對此一般性的函數，我們用dx表示自變量趨于零的情況，用dy表示函數的微分。

如果我們對比一下導數的定義f'(x) = Δy/Δx，其中Δx趨近于零，以及微分的定義dy =f'(x)dx，就可以看出導數和微分定義有所不同，但本質上講的其實是一回事，因為Δx和Δy趨近于零之后，就是dx和dy。有時人們直接將導數寫成f'(x) =dy/dx。

1.2.2 積分

積分是要從動態變化來看累積效應。

比如對于速度來講，累積效應就是走過的距離。在中學物理中，如果物體做勻速直線運動，運動的速度是個常數，v-t圖像就是在坐標軸上和橫軸平行的直線，因此物體位移是速度乘以時間，是個長方形。稍微復雜一點的情況是勻變速直線運動，這也高中物理重點考查的內容。但在現實問題中，速度是一個隨著時間不斷變化的函數，忽快忽慢，那么在這樣的速度下走過的距離就需要考慮每一時刻的動態變化了，積分就是提供這樣的工具。在沒有積分這個工具之前，人們只能通過平均值，大致了解累積效應，但是估計得非常不準確。有了積分，就能把握每一個細節對最后整體的影響。

人生就是一個不斷積分的過程，過去經歷的點點滴滴，吃的每一口飯，走得每一步路，塑造了現在的你。

2. 高等數學有什么用？

微積分在近現代科研領域的應用方方面面，微積分對個人思維能力的培養也大有裨益。

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2.1在科學中的應用舉例

先舉幾個微積分在近現代科學發展中的應用，來體會一下微積分的偉大力量。

2.1.1 圓周率

在小學的時候學過祖沖之首次將圓周率精算到小數第七位，也學過用割圓術求圓周率的方法。

但是現在，圓周率已經被計算到了小數點后幾十萬億位，這是微積分的功勞。

在用微積分圓周率的方法中，圓周率被定義為無盡過程的難以達到的極限，圓周率既沒有可見的終點，也沒有可知的極限，然而，圓周率確實存在。

微積分是用無窮來研究有窮，用無限來研究有限，用直線來研究曲線，無窮原則是解鎖曲線之謎的鑰匙，而且它最早出現在圓周率之謎中。

2.1.2 麥克斯韋預言電磁波的存在

中學物理學過一個變化的電場會產生一個變化的磁場，一個變化的磁場又會產生一個變化的電場，電場和磁場交替變化，每個場都會引導另一個場向前運動，一起以行波的形式向外傳遞能量，即電磁波。

這個結論最初是麥克斯韋通過計算得出的，當麥克斯韋計算這種波的速度時，他發現它是以光速運動的，因此，他不僅利用微積分預測出電磁波的存在，還解開了一個古老的謎題：光的性質是什么？他意識到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預測促使赫茲通過實驗證明了電磁波的存在。后來有了無線電通信系統，有了電報、電視、電話、電腦、互聯網、5G。

微積分不可能獨立做到這一切。但顯而易見的是，如果沒有微積分，這一切就不會發生。

2.1.3 CT成像

CT 掃描中的 C 代表 computerized（電子計算機化的），T 代表 tomography（斷層成像），指的是通過把某個物體切成薄片，使其實現可視化的過程。

CT 掃描利用 X 射線，一次一個切片地為某個器官或組織成像。當一位患者置身于 CT 掃描儀中時，X 射線會從許多不同的角度穿過他的身體，另一側的探測器則負責做記錄。在微積分、傅里葉分析、信號處理和計算機的幫助下，CT 軟件可以推斷出 X 射線穿過的組織、器官或骨骼的性質，并生成這些身體部位的詳細圖像。

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2.2 對個人思維能力的培養

高等數學思維對個人理解生活也會帶來的一些幫助。

2.2.1 有限和無窮

微積分中多得是有限和無窮的計算問題，學習微積分能夠更加深刻地認識到生活中的事物的有限與無窮。

關于有限

• 一天存100元，一個月存3000元，工作30年，也不過存90多萬，即便房價不上漲，大部分人存錢到退休也很難買房，這是人生的有限，更何況大部分人很難一個月存3000元，房價也不可能在未來30年的范圍不上漲。
• 有的人遇到問題總是自己想辦法解決，不舍得花錢請別人幫忙解決，其實人的一生時間精力很有限，要把時間花在最有意義有價值的事情上，在一件事情上獲得復利收益，得到的回報足以請別人幫忙解決許多問題。
• 有的人趁雙11打折買了許多東西，買回來的吃的東西可能過期了也沒有吃，買回來的用的東西可能很久都沒有用上，還不如把錢花在別的有意義的地方，這是沒有認識到實際消費需求的有限。
• 有的人在遇到了好的學習機會、好的工作機遇、好的發展對象，沒有盡力去把握，以為還會有更好的，但實際人生能夠遇到的好的事情是極為有限的，遇到了就要盡全力去把握，這一點用統計概率來理解也同樣適用。

關于無窮

• 拼多多砍一刀，永遠差0.01，這是無窮。雖然在數學上它可能是有限的，但在有限的生活中它是無窮的。
• 內卷是無窮的，在同一件事情上不是努力就能勝過別人，別人同樣在努力，當所有人都在同一件事情上不惜一切代價競爭的時候，付出的代價沒有終點，在有限的人生付出無限的代價是不值得的。如果給努力程度一個度量，一個人的努力是x，總有另一個人是1.1x，那么不論x的值多大，x也無法逾越1.1x，有人做到1.1x，也還會有人1.2x、2x、3x。
• 生活中的樂趣是無窮的，人的欲望也是無窮的。

2.2.2 靜態和動態

在初等數學中的計算多靜態的問題，但高等數學則是主要用來研究動態的問題。從初等數學到高等數學，就是要把看數學的眼光，從一個個靜態的數字、孤立的公式，上升到動態變化的趨勢。

• 很多人在創業時，喜歡談風口機遇，生怕錯過了千載難得的機會。如果那個機遇的時間窗只有很短的時間，那通常并不是機遇，只是一次投機而已。真正好的機遇總是與社會變革的大趨勢息息相關，總是持續十幾年甚至幾十年，是不容易錯過的，成功的創業往往都是創業者能夠洞悉時代發展的趨勢，以發展的眼光看待問題。
• 很多人在找對象的時候往往看對方當前的工作、收入、財產、容顏，從人生的尺度來看，對于大部分人來說這些暫時高價值的東西未必長久高價值，許多人生取得巨大成就獲得長久幸福的人在年輕的時候并沒有世俗意義上非常好的工作、收入、財產。一個人良好的品性、不斷學習的能力才是更加長久的價值。
• 從事一項不斷成長的工作事業，比從事一項起薪高卻增長乏力的工作事業，往往能獲得更多的收益。

2.2.3 目的與手段

在計算微積分的時候，我們常常會在計算過程中加上一個數又再把這個數減掉，乘上一個數再把這個數除掉，先取了對數又計算乘方。通過一些最后實際不需要的量來計算我們所需要計算的值。

人生也是這樣

• 我們想讀一個好大學，學了很多東西參加了高考，學的東西高考后沒幾年大多數都忘了。
• 有的人讀到了博士去當公務員，雖然當公務員往往用不上讀博所學，但沒有讀博就未必能去到想要去的崗位。
• 有時候在書桌前絞盡腦汁也解決不了的難題，出去度假旅行或許能靈光一現。
• 有的人想要成為網紅天天拍段子卻成為不了網紅，而那些在自己事業領域有所建樹的人卻很容易稱為網紅。
• A給B送禮辦事、B給C送禮辦事、C給A送禮辦事，各種禮品在來來回回中實際被消費的可能并沒有多少，但缺了這些東西卻未必能辦成想要辦的事。

我們想要達到期望達到的目的，往往需要一些與目的并不直接相關的手段。

2.2.4 直覺和邏輯

高等數學有著嚴謹的邏輯體系，這對學習者訓練邏輯思維非常有好處。

我們的直覺常常是對的，但是這只是在我們熟悉或者能夠感知到的世界里。

邏輯可以幫助我們分析清楚我們未曾經歷過的事情，可以幫助我們學習新知奠定更良好的基礎。

2.2.5 概念和表述

在很多討論重要問題的場合，日常生活化的語言未必能滿足溝通交流的需要，還需要用極為嚴格的語言表述，數學的語言是一種，法律的語言也是一種，更普遍地講，任何專業的術語都是為了這個目的而出現的。做事專業，就需要掌握專業的術語。很多時候，將一件事情表述清楚非常重要，尤其是在前沿的科學事業中，我們需要通過彼此能夠理解的形象的比喻或符號化的精準表達來說明。

3. 這個教程有什么特點？

對于大多數理工科的大一學生而言，學習高數都是步履維艱的歷程，這不僅僅是因為高數本身有一定的難度，同時也受限于大多數學校使用的教材的講解方式和老師的授課態度。

本教程的講法和大學里的高等數學教材會有所不同，并不會直接羅列知識點，然后做習題。而是通過引例、故事、應用等引入知識點，每個重要知識點都配例題，比較難的例題會有對應的變式練習，題目難度從簡入深，若講解的知識點有對應得到考研真題會附上考研真題，每個題目都有詳細的講解。同時會有更多的圖例和更加豐富的色彩標注幫助讀者理解。

考慮到高等數學的內容較多，我會分兩個專欄來寫，分別是【高等數學教程（單變量微積分）】和【高等數學教程（多變量微積分）】，分別對應同濟版高等數學的上下冊。

數學的世界，在很大程度上可以被看成是我們這個真實世界高度抽象的結果，它的概念是對我們生活中各種對象的濃縮，它的規律是我們生活中很多規律的抽象表述。尤其是在深入學習了物理、計算機等課程之后，再回過頭來看看數學書，會更加認識到數學對個人成長、對科技發展的重要性。

4.高等數學教程【單變量微積分】內容目錄

高等數學教程【單變量微積分】內容目錄_少俠PSY的博客-CSDN博客

總結

以上是生活随笔為你收集整理的前言【高等数学教程（单变量微积分）】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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