NS方程就是牛頓第二定律的運用，依舊是在經典力學的框架下。其核心本質就是動量守恒。需要注意的是，NS方程終究只是一個對流體在連續介質層面的物理近似，具體說就是一個對流體在分子動理論(kinetic theory)層面進行“粗?；?coarse-graining)的物理模型。當然，大量的實驗、研究表明，NS方程在大部分情況下還是非常優秀的一個模型。

接下來先回顧一下NS方程(不考慮源項和外力項)。有不可壓縮NS方程(假設將密度項吸入壓力項)：

和可壓縮NS方程：

若將不可壓縮NS改寫為

顯而易見，就是簡單的牛頓第二定律

的運用；其中

為物質導數?？蓧嚎sNS同理。

各項基本性質：對流項：是由拉格朗日描述法轉為歐拉法而衍生出來的項，也就是從material derivative到spatial derivative。這一轉變代表著從質量守恒的研究角度轉為體積守恒的研究角度。從物理的角度講，對流項通俗說就是速度運輸速度自己，具體作用為加大速度梯度。

擴散項：由應力項化簡而得的。應力張量可以分解為isotropic部分(正應力，或壓力)和anisotropic部分(粘性切應力)：

。壓縮效應不大、無劇烈反應的情況下，斯托克斯假設基本合理，因此粘性應力項化簡為：

。對于不可壓縮單項牛頓流體，根據質量守恒，

，因此應力項可化簡為

。從物理角度上講，擴散項的來源是分子間的動量交換；從其通量構造上來講和菲克擴散定律一致：

，粘性運輸是朝著速度梯度小的方向進行的。因此，擴散項實際作用是使得速度場中的梯度變得光滑，從而對動量在空間上“重新分配”并變得“更均勻”。換句話說就是“抹平”流體微元之間的速度差異。

壓力梯度：不可壓縮條件下，壓力場與速度場耦合，壓力場完全由速度場決定。因此物理上壓力場的唯一意義就是使速度場滿足不可壓縮條件，數學上則將速度場投影至無源的向量空間。而在可壓縮條件下，壓強和速度場解耦，壓強由狀態方程和能量方程決定。壓力的其他物理作用有例如：(1)維持/產生相干渦結構，(2)對能量重新分配，具體表現為將動能從速度慢的微元轉移到速度快的微元，使得“慢的更慢，快的更快”，由此速度梯度增加從而使得流場更加不光滑。

源項：沒什么好解釋的，就是除流體自身以外的能對流動產生影響的外源，如重力，溫差，兩相流中的表面張力，化學反應產生的力，MHD中的磁場，等等。

求解NS方程常用的離散方法其實也就那么幾種：(1) 有限差分：向前/向后/中心差分；(2) 有限體積；(3) 譜方法，有限元，譜元法等。粗暴地講，在沒有間斷/激波的情況下對所有的空間導數優先使用中心差分。先進的不可壓縮DNS要求高精度高分辨率，因此在空間離散上大部分采用譜方法(其中又以偽譜方法pseudospectral居多)，差一點的至少也得是高階緊致或高階高分辨率中心差分。時間上一般采用三階/四階RK以及各種相應的優化算法，但是超大型DNS中二、三階還是占多數；而計算資源不充足或對時間上的統計量不關心的情況下亦可適度降低時間離散精度。對于可壓縮流動，目前看來還是有限差分/有限體積占據主導地位。同時由于各種高階方法缺少數值粘性，有的時候還需要對流場進行濾波或者添加人工粘性以確保穩定。如果流場中存在間斷/激波，一般對對流項采用迎風格式，粘性項依舊使用中心差分。常用的高階迎風格式主要包括W/T/ENO家族，以及其他激波捕捉器(shock-capturing)和黎曼求解器(Riemann solver)等等。

對稱及對稱群：這里隨便額外探討一些稍微進階的內容。對稱性是很重要的一個概念，在從數學和物理角度研究NS方程/流動都起著很重要的作用(例如K41理論利用到尺度對稱和旋轉對稱)。自然NS方程的對稱群也是很重要的一個概念。這里簡單介紹一下。

定義：有NS方程

，其中

為NS算子，

為其解。一個關于速度

的變換群

是NS方程的對稱群，當且僅當

時，有

。

不可壓縮NS方程的一些基本對稱變換：空間平移：

時間平移：

伽利略變換：

空間反射(宇稱對稱)：

空間旋轉：

尺度對稱：當

，

；而當

，僅當

時滿足尺度對稱。

實際案例：1. 在對NS方程進行數值計算時或者湍流模擬時，一些必要的對稱性必須要盡力保證。比較?？紤]的是伽利略變換(或不變性)，例如在顯式濾波大渦模擬(explicit-filtered LES)中，顯式濾波的格式，還有例如在施加外力驅動湍流時，原則上都要求不能打破伽利略不變性。另外也有相關的對CFD格式的研究，探究是否會破壞方程的伽利略不變性。2. 現代研究各向異性的一個主要手段是就是利用3-D特殊正交群

，即上述的空間旋轉變換。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶微分方程的物理意义_如何从物理意义上理解NS方程？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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