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关于近十年来N-S方程的研究结果

發布時間：2023/12/20 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了关于近十年来N-S方程的研究结果小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

總結一下近十年關于NS方程的相關研究成果，后面會繼續補充。首先將問題分為兩大類：1、有界域上的問題 2、無界域上的問題。我們先來看有界域的情況。
1、第一篇（PAN, RONGHUA, ZHANG, WEIZHE. COMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS WITH TEMPERATURE DEPENDENT HEAT CONDUCTIVITY[J]. Communications in mathematical sciences,2015,13(2):401-425.）主要證明了當熱傳導系數依賴于溫度時( $κ=θb\kappa =\theta^{b}$ ), 一維可壓縮NS方程強解的整體存在性。
（1）我們來看一下方程的具體形式以及初邊值。
${vt?ux=0ut+px=(μuxv)x(e+12u2)t+(pu)x=[(κθx+μuux)v]x(v,u,θ)(x,0)=(v0,u0,θ0)(x)u(0,t)=u(1,t)=0,θx(0,t)=θx(1,t)=0\begin{cases}v_{t}-u_{x}=0&\\ u_{t}+p_{x}=\left( \frac{\mu u_{x}}{v} \right)_{x} &\\ \left( e+\frac{1}{2} u^{2}\right)_{t} +\left( pu\right)_{x} =\left[ \frac{\left( \kappa \theta_{x} +\mu uu_{x}\right) }{v} \right]_{x} &\\ \left( v,u,\theta \right) \left( x,0\right) =\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) &\\ u\left( 0,t\right) =u\left( 1,t\right) =0,\ \theta_{x} \left( 0,t\right) =\theta_{x} \left( 1,t\right) =0&\end{cases}$
其中狀態方程如下：
$p=Rθv,e=cvθp=\frac{R\theta }{v} ,\ e=c_{v}\theta$
（2）主要結果如下：
如果初值與邊界條件兼容并且滿足
$(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2,∫01v0(x)dx=M>0,\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) \in H^{1}\times H^{2}\times H^{2},\ \int^{1}_{0} v_{0}\left( x\right) dx=M>0,$
以及存在 $v1,v2,θ1,θ2v_{1},v_{2,}\theta_{1} ,\theta_{2}$ 使得 $v1≤v0≤v2,θ1,≤θ0≤θ2v_{1}\leq v_{0}\leq v_{2,}\ \theta_{1} ,\leq \theta_{0} \leq \theta_{2}$ 成立，那么這個NS方程存在唯一的全局強解，這個解存在于如下的空間：
$v∈L∞([0,T];H1(0,1)),u∈L∞([0,T];H2(0,1)),θ∈L∞([0,T];H2(0,1))v\in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{1}\left( 0,1\right) \right) ,u\in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{2}\left( 0,1\right) \right) ,\theta \in L^{\infty }\left( \left[ 0,T\right] ;H^{2}\left( 0,1\right) \right)$
并且對于任意的 $(x,t)∈[0,1]×[0,T]\left( x,t\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,T\right]$ , 方程的解具有如下的正則性（直接粘的圖片）：

其中 $C > 0$ 依賴于初值和 $T$ ,并且對于任意有限的 $T$ , $C$ 也是有限的。
除此之外如果初值進一步滿足如下的條件：
那么方程的解是經典的，對任意固定的 $T > 0$ , 有
并且經典解也具有上面解的正則性。
(3) 主要證明思路
第一步通過用常規方法得到比容 $v$ 的表達式，并得到它關于空間是一致的。利用所得結果得到 $θ\theta$ 有一個正的下界。第二步利用所得結果計算 $(v,u,θ)(v,u,\theta)$ 的相關導數的估計(關于時間和空間)。第三步通過對以下兩個量的估計
$Z(t)=sup?0≤t≤T∫01uxx2dx,Y(t)=sup?0≤t≤T∫01θ2bθx2dxZ\left( t\right) =\sup_{0\leq t\leq T} \int^{1}_{0} u^{2}_{{}xx}dx,\ Y\left( t\right) =\sup_{0\leq t\leq T} \int^{1}_{0} \theta^{2b} \theta^{2}_{x} dx$
得到 $θ\theta$ 的下界。第四步利用 $v,θv,\theta$ 的一致性(關于空間的)得到解的正則性的估計。
論文中主要利用了holder不等式，cauchy不等式牛頓萊布尼茨公式以及一些巧妙的方法得到了關于解的一些先驗估計。

2、第二篇(Huang B , Shi X . Nonlinearly exponential stability of compressible Navier-Stokes system with degenerate heat-conductivity[J]. Journal of Differential Equations, 2020, 268(5):2464-2490.) 在第一篇的基礎之上做了兩方面的內容：首先將初值條件放寬了，由之前的
$(v0,u0,θ0)(x)∈H1×H2×H2\left( v_{0},u_{0},\theta_{0} \right) \left( x\right) \in H^{1}\times H^{2}\times H^{2}$ 變為 $(v0,θ0)∈H1(0,1),u0∈H01(0,1)\left( v_{0},\theta_{0} \right) \in H^{1}\left( 0,1\right) ,\ u_{0}\in H^{1}_{0}\left( 0,1\right)$ 。其次研究了解的大時間行為。
(1)主要結果
由于初值條件發生了變化所以方程的解空間以及其正則性也發生了變化。其主要結果如下：

方程解的大時間行為如下：
(2)主要證明以及遇到的困難
論文證明的關鍵在于得到 $\theta$ 的一致有界性(不依賴于時間)。與粘性系數和熱傳導系數為常數的情況相比，論文里的主要困難在于當 $β>0\beta>0$ 時，熱傳導系數會出現退化以及非線性的情況。所以為了得到 $θ\theta$ 的一致有界性需要新的方法。第一步：利用標準的能量估計我們可以得到 $v$ 的一致性(與時間無關)。第二步：證明 $θ\theta$ 的一致有界性。在這一步遇到一些困難，但是通過觀察

我們可以證明 $θ?1\theta^{-1}$ 的 $L∞(0,∞;Lp)L^{\infty }\left( 0,\infty ;L^{p}\right)$ 范數是有界的，反過來不僅可以證明

還可以得到當 $β>1\beta >1$ 時， $θx\theta_{x}$ 的 $L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)$ 范數是有界的。

最后對于 $β∈(0,1]\beta \in \left( 0,1\right]$ 的情況，我們發現， $θx\theta_{x}$ 的 $L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)$ 范數可以被 $u_{x}$ 的 $L4(0,T;L2(0,1))L^{4}\left( 0,T;L^{2}\left( 0,1\right) \right)$ 范數控制。
這里之所以討論 $θx\theta_{x}$ 的 $L2((0,1)×(0,T))L^{2}\left( \left( 0,1\right) \times \left( 0,T\right) \right)$ 范數是因為我們在證明 $θ\theta$ 的一致有界的時候這是關鍵的一步。(具體可以去查閱這篇論文。)由于篇幅的問題，其余的就放在下一篇文章中。歡迎大家批評指正！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于近十年来N-S方程的研究结果的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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