文章目錄

• 一：內積、長度、正交性
• • 1.1內積
  • 1.2長度
  • 1.3正交向量
  • 1.4總結
• 二：正交集
• • 2.1定義
  • 2.2定理--正交基
  • 2.3正交投影
  • 2.4單位正交集
• 三：正交矩陣
• • 3.1單位正交列向量
  • 3.2性質
  • 3.3正交矩陣初入門
• 四：拉格姆-施密特方法
• • 4.1定義
  • 4.2步驟
  • 4.3例子
  • 4.4QR分解

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一：內積、長度、正交性

1.1內積

1.定義：

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2.定理：

注：從上面的性質可以簡單總結出其是符合“對加法、對乘法封閉的”。

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1.2長度

1.定義：

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2.單位向量

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3.n維空間的距離

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1.3正交向量

注：補充定理

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1.4總結

以上比較簡單，但是有時候總是忘，可能是年紀大了，留著簡單回顧吧！！！！！！！！！

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二：正交集

2.1定義

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2.2定理–正交基

注：因為正交基的優(yōu)越性，其必然是在當前子空間的線性無關集，所以兩兩正交，從而對于子空間內的任一個由其表示的向量已知的時候，對于權重由于線性無關集的正交性從而比較容易求出，了解即可！！！！

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2.3正交投影

注：這部分簡單總結如下，一個向量往另一個向量（所在直線的所有）投影的過程。

幾何解釋：

注：這部分則是將投影和正交基結合起來，可以看到定理5其實就是投影的權重系數(shù)，所以一個n維空間的向量可以由其空間的n個正交基表示，這也就是線性表示！！！！！！！！！！

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2.4單位正交集

注：其實就是標準正交基！！

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三：正交矩陣

3.1單位正交列向量

注：此時，不是單位正交矩陣，因為不是方陣！

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3.2性質

注：
具體證明參照例題，P340頁自己看書吧。

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3.3正交矩陣初入門

正交矩陣： 一個可逆的方陣，并且轉置矩陣等于逆矩陣。—行向量組是正交集、列向量組是正交集。
當矩陣是方陣的時候，上面的定理6和定理7就非常有用了，對于定理6：此時的矩陣就是標準正交矩陣。

注： 正交矩陣在第七章節(jié)會發(fā)揮更大的作用，現(xiàn)在了解即可，第七章見---------------待

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四：拉格姆-施密特方法

4.1定義

注：這里每個向量都是n維的，但是根據(jù)向量的個數(shù)，可以構造其不同子空間下的正交基和標準正交基~

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4.2步驟

注：標準正交基則在其基礎上進一步做單位向量即可，了解即可-----------------證明見參考書吧~~~

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4.3例子

注：給出兩個例子，有興趣自己看看吧。

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4.4QR分解

注：知道得了。。。。。。

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參考書籍：線性代數(shù)及其應用（原書第5版）
書籍下載：https://download.csdn.net/download/qq_37534947/13115301

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数（六）正交性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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