概述

題目：A Method for Animating Viscoelastic Fluids

一種模擬粘彈性流體的方法

發表時間：2004年

期刊/會議：SIGGRAPH

作者：Tolga G. Goktekin Adam W. Bargteil James F. O’Brien 加州大學伯克利分校

摘要：本文描述了一種為粘彈性流體（如粘液、液體肥皂、布丁、牙膏或粘土）的行為設置動畫的技術，這些流體同時具有流體和固體的特性。該技術基于之前的歐拉方法，通過在基本Navier-Stokes方程中加入額外的彈性項，為具有自由表面的不可壓縮流體設置動畫。彈性項是通過在整個流體中積分和平流應變率來計算的。從彈性阻力到粘性流動的轉變由馮·米塞斯的屈服條件控制，隨后的行為由準線性塑性模型控制。

圖片：

筆記：

作者認為，流體和固體的唯一不同點在于是否存在彈性力（使材料回復原始形狀）。

流體和固體的相同點在于：（1）都抵抗體積變化（2）固體阻尼力和流體粘性力都可以表示為應變率的函數。

粘彈性體是介于流體和固體之間的材料。為該材料逐步施加外力，它先表現出彈性，然后開始塑性流動。分界點在于所承受的應力大小，這里稱之為彈性極限。當彈性極限設定得很高時，材料表現為固體。當彈性極限設定得很低時，材料表現為流體。介于兩者之間得，如粘液、肥皂液、牙膏、粘土，被稱為粘彈性流體或彈塑性固體。(note: 從這里看出來，粘彈性是從流體角度說的，彈塑性是從固體角度說得，兩者其實是一種東西)

采用von Mises屈服準則確定流體/固體的轉換點。

Related works:

[Fung, 1965], [Han and Reddy, 1999], and [Bird et al.,1987]這三篇文獻闡述了粘彈性流體材料得不同描述方法。

本文方法主要借鑒[Enright et al., 2004]。采用歐拉網格模擬自由表面。該方法由兩個部分組成。一是直角網格，用于定義流體狀態。二是level set函數。

Method:

控制方程（NS方程）如

關于此方程：

關鍵在于右端第四項，即彈性力項。

該項中，${\mu }_e$是彈性模量，給定一個常數。

該項中，關鍵在于$?$，即應變（彈性應變）。應變是沒法直接計算的，這也是本文難點和創新點之一。

（Notes: 沒標注的應變默認為彈性應變）

應變無法直接計算是因為物體時刻處于流動狀態，沒法像固體那樣追蹤形變。所以本文提出了一種特殊的處理方法，即用積分應變率的方式計算應變。

處理方法大致如下：先計算一個總應變，總應變由總應變率的積分得到（應變率即應變的導數）。該積分的起始點是0時刻的總應變率（設定為0），如圖所示。

而總應變率是可以由速度的梯度（結果為二階張量）計算的，如下圖。

只要再計算出塑性應變，彈性應變就可以由總應變減去塑性應變得到。

塑性應變同樣可由塑性應變率積分得到。而塑性應變率的計算則要利用von Mises準則。該準則說明，只要當彈性應變達到一定程度（定義為屈服點）的時候，就會發生塑性流動。塑性應變率是與超出屈服點的部分成正比的。具體從數學公式上來講：

先定義一個臨時變量，稱之為應變偏置。它是彈性應變的函數。它的物理意義是彈性應變去掉膨脹的部分（因為膨脹收縮這種體積變化是不被我們允許的，我們要做的是不可壓縮流體）。

然后采用von Mises屈服準則：

這個公式的物理意義是：假如應變沒有超過屈服點，塑性應變率為0；假如應變超過屈服點，塑性應變率與超出屈服點的應變成正比。這點可以從max()這個函數看出。其中**參數$\gamma$就是屈服點，控制了發生流動的難易程度，越大越難流動。前面的系數$\alpha$**控制了塑性流動的快慢，越大越快。通過調節這兩個參數，就實現了粘彈性流體的模擬。

我們把上述公式綜合起來，得到一個公式：

彈性應變是我們要求解的未知量。觀察發現，右邊的應變偏置${?}^{\prime }$是彈性應變的函數。左邊則是彈性應變率，即彈性應變的導數。所以這是一個微分方程，或者說積分方程。

（假如只用一個公式來概括附加彈性力的NS方程中的彈性力怎么算，只要上面這一個公式就夠了）

額外附注：

原文是采用歐拉法的，所以還需要用半拉格朗日法進行平流，彈性應變也是需要被平流的。

運算速度幾乎與沒添加彈性項的模擬一樣。

由于適用交錯網格，應變張量的不同分量，和速度一樣，是存儲在不同面的。

用level set進行表面重建。level set的網格精度為計算網格的二倍。

作者提到該方法也可以模擬血液，但許多血液的特性是沒法表現的，這些特性與血液的微觀結構有關。其他聚合物懸浮液同理。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【文献阅读】2004 Goktekin NS方程加弹性 A Method for Animating Viscoelastic Fluids的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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