一維可壓縮粘性N-S方程組解的存在性，唯一性

記錄一下最近所讀的相關(guān)文章以及自己的見(jiàn)解，如有錯(cuò)誤之處還請(qǐng)大家不吝指教。（本人初入手pde，小白一個(gè)，所寫內(nèi)容都是自己的理解，還存在很多問(wèn)題，希望看到的行家能夠多多指正。）

可壓縮粘性N-S方程由三個(gè)守恒方程組成：質(zhì)量守恒方程，動(dòng)量守恒方程，能量守恒方程。其中包括三個(gè)未知函數(shù)：$\left(v\left(x,t\right),u\left(x,t\right),\theta \left(x,t\right)\right)$,分別代表流體的比容（密度的倒數(shù)），速度，絕對(duì)溫度。 接下來(lái)討論方程組初邊值問(wèn)題解的存在，唯一性問(wèn)題。我們所有的討論都是在有界域上。

證明方程解的存在性與唯一性的關(guān)鍵在于計(jì)算先驗(yàn)估計(jì)。首先我們來(lái)看一下什么是先驗(yàn)估計(jì)。先驗(yàn)估計(jì)是近代研究偏微分方程的一種基本方法和技巧。對(duì)偏微分方程定解問(wèn)題，在解存在的假設(shè)下，通過(guò)方程系數(shù)、自由項(xiàng)及定解條件估計(jì)解在某個(gè)巴拿赫空間(一般是索伯列夫空間或連續(xù)可微函數(shù)空間)中的范數(shù)的上界的不等式。（以上內(nèi)容來(lái)自于百度百科）。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是先假設(shè)方程的解是存在的，然后通過(guò)利用各種方法得到關(guān)于解的各種估計(jì)，（通常情況下先計(jì)算解的$L_2$或者$W^{k,p}$范數(shù)，然后再計(jì)算其導(dǎo)數(shù)的某些范數(shù)，最后根據(jù)所得的估計(jì)來(lái)確定解存在的空間。）例如假設(shè)我們所討論的方程在$[0,T]$存在解且我們想要得到$\left(u,v,\theta \right)\in H^k$（這一步是為了提高解的正則性），那么第一步就是證明$\Vert u,v,\theta {\Vert }_{H^k}$在$[0,T]$有界，一般是$\left(u,v,\theta \right)\in L^2\left(0,T;W^{k,p}\left(\Omega \right)\right)$或$\left(u,v,\theta \right)\in L^{\infty }\left(0,T;W^{k,p}\left(\Omega \right)\right)$。看具體能算到哪個(gè)空間的估計(jì)。

然后討論為什么這個(gè)邏輯是通的？這里可以參考某個(gè)數(shù)學(xué)博主 https://www.zhihu.com/question/52567966對(duì)相關(guān)問(wèn)題的解答。博主比較詳細(xì)明了地介紹了先驗(yàn)估計(jì)在證明方程解的存在性時(shí)的作用。

我們?cè)谧C明方程解的存在性時(shí)可以用各種方法，例如上面博主提到的Galerkin方法。論文里經(jīng)常提到的方法是壓縮映射原理（巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理）來(lái)證明方程解的存在性與唯一性。壓縮映射定義及例子可參考https://zhuanlan.zhihu.com/p/269264508。利用壓縮映射原理我們可以得到方程解的局部存在性（在很短的時(shí)間內(nèi)），然后利用我們所得的先驗(yàn)估計(jì)可以將這個(gè)解延拓到整個(gè)空間上（關(guān)于時(shí)間）。（這里具體用的是連續(xù)性方法。應(yīng)該是不斷迭代，一直取新的時(shí)間點(diǎn)作為初始時(shí)刻，可以做到無(wú)窮。）

最后我們來(lái)做個(gè)總結(jié)。對(duì)于NS方程我們利用巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)理論和連續(xù)性方法（不太理解這個(gè)方法）通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)將方程解的局部存在性延拓到整個(gè)空間上。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的NS方程解的存在性，唯一性问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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