$\DeclareMathOperator{\lowbit}{lowbit}$

題目大意

對于一個數 $x$，設它最低位的 1 是第 $i$ 位，則 $\lowbit(x)=2i$ 。

例如 $\lowbit(5)=1$，$\lowbit(12)=4$ 。

定義對 $x$的一次變換為：有 50% 的概率變成 $x+\lowbit(x)$，有 50% 的概率變成 $x-\lowbit(x)$ 。

定義 $f(x)$ 為對 $x$ 不停變換，變換到 0 的期望變換次數。

給定 $L, R$（$0\le L \le R < 2^{31}$），求 $\sum\limits_{x=L}^{R} f(x)$ 。

答案對 $998244353$ 取模。

分析

題解是 DP，但是我沒看懂。我想到的一種記憶化（memoization）遞歸求解的方法，能 AC，但是我搞不清楚這種方法的復雜度。

令
\[ S(n) = \sum_{i=0}^{n} = f(i) \]

則我們有

\[
\begin{aligned}
f(0) &= S(0) = 0 \\
f(1) &= S(1) = 2 \\
S(2n) &= S(n) + n + \frac{S(n) + S(n-1)}{2} \\
S(2n+1) &= S(n) + n+1 + \frac{S(n+1) + S(n)}{2}
\end{aligned}
\]

根據 $S(n)$ 的遞推式，是否可以猜測 $S(n)$ 關于 $n$ 是線性增長的呢？

這個問題是很值得研究的。

記憶化遞歸（recursion with memoization）

轉載于:https://www.cnblogs.com/Patt/p/9155928.html

總結

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