傳送門：洛谷

題目大意：對于一個只有一個節點的二叉樹，一次操作隨機將這棵樹的葉節點的下方增加兩個節點。$n-1$次操作后變為$n$個葉節點的二叉樹。求：（1）葉節點平均深度的期望值（2）樹深度的數學期望值

數據范圍：$2\leq n\leq 100$

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首先看第（1）問

設$f_i$為$i$個葉節點的二叉樹的葉節點平均深度的期望值。

每次選擇一個葉節點，擴展出兩個新的葉節點，所以總的深度增加$f_{i-1}+2$

則$f_i=\frac{(i-1)*f_{i-1}+f_{i-1}+2}{i}=f_{i-1}+\frac{2}{i}$

所以

$$Ans=\sum_{i=2}^n\frac{2}{i}$$

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然后是第（2）問，這個難度要稍微大一點。

我們發現這求的是$n$個數的最大值的期望，而第（1）問的是和的期望，而期望可加，卻不能$\max$，就非常不好辦了。

這時我們就需要用一個式子

$$E[X]=\sum_{i=1}^{n-1}P(X\geq i)$$

然后就可以轉化為其中一個數$\geq i$的概率。

就很容易想到$dp[i][j]$表示$i$個葉節點的二叉樹中深度$\geq j$，則左子樹深度$\geq j-1$或右子樹深度$\geq j-1$

所以

$$dp[i][j]=\frac{\sum_{k=1}^{i-1}(dp[k][j-1]+dp[i-k][j-1]-dp[k][j-1]*dp[i-k][j-1])}{i-1}$$

$$Ans=\sum_{i=1}^{n-1}dp[n][i]$$

然后就做完了。

1 #include<cstdio> 2 #define Rint register int 3 using namespace std; 4 const int N = 103; 5 int q, n; 6 double dp[N][N], ans; 7 int main(){ 8 scanf("%d%d", &q, &n); 9 if(q == 1) 10 for(Rint i = 2;i <= n;i ++) ans += 2.0 / i; 11 else { 12 for(Rint i = 1;i <= n;i ++) dp[i][0] = 1; 13 for(Rint i = 2;i <= n;i ++){ 14 for(Rint j = 1;j < n;j ++){ 15 for(Rint k = 1;k < i;k ++) 16 dp[i][j] += dp[k][j - 1] + dp[i - k][j - 1] - dp[k][j - 1] * dp[i - k][j - 1]; 17 dp[i][j] /= i - 1; 18 } 19 } 20 for(Rint i = 1;i < n;i ++) ans += dp[n][i]; 21 } 22 printf("%.6f", ans); 23 } Luogu3830

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總結

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