文章目錄

• 4. 多重積分之三重積分
• • 4.1 三種正交坐標系下的三重積分
  • • 4.1.1 直角坐標系下三重積分
    • 4.1.2 柱坐標系下三重積分
    • 4.1.3 球坐標系下三重積分
    • 4.1.4 積分上下限的選擇
    • 4.1.5 任意曲面的面積元
    • • 方法一
      • 方法二
  • 4.2 矢量場中的多重積分（重點）
  • • 4.2.1 三維矢量場
    • 4.2.2 三維空間中的通量及環量
    • • 通量Flux
      • 環量Circulation
    • 4.2.3 三維空間中的散度和旋度
    • • 散度
      • 旋度
    • 4.2.4 三維空間中的散度定理和Stokes定理
    • • A.散度定理 (Divergence Theorem)
      • B.Stokes定理
  • 4.3 三重積分的應用
  • 4.4 三重積分的實例——麥克斯韋方程組
• 參考

本博客對應我博客中的 多變量微積分目錄下的第四章，多重積分之三重積分。

最近選了數學物理方法這門課，不得不重新復習微積分，尤其是多元微積分。

4. 多重積分之三重積分

前一章的二重積分只是三重積分的一種簡化。在物理學中用的最多的還是三重積分。這一章的思路是先介紹三種正交坐標系下的微分形式該如何表達，再介紹三維空間中的矢量場（其中包括三維空間下的旋度，散度，格林定理和stokes定理等），最后介紹麥克斯韋方程組。

4.1 三種正交坐標系下的三重積分

坐標系可以分為直角坐標系和曲線坐標系（典型的有柱坐標和球坐標），它們之間可以相互變換，可以參考我這篇博客《R3空間曲線坐標系變換及向量分析》

回歸正題，三重積分的表達式是：
$${?}_{R}fdV$$
公式中$dV$的表達方式可以有不同種選擇。直角坐標系，柱坐標和球坐標系都是正交坐標系，即坐標系的三個基向量都是互相垂直的，直角坐標系最為特殊，它的三個維度方向是固定的；柱坐標系的z軸是固定的；而球坐標系的三個維度的方向都是隨半徑的變化而變化的。

4.1.1 直角坐標系下三重積分

直角坐標系下的三重積分形式如下：
$${?}_{R}fdzdydx$$
上述公式可以算是通用的表達形式了，如果只是單純求體積的話，令$f=1$，公式就變成了：
$$V=?dV=?dzdydx$$
（注意，以上只是表達形式，如果具體要求某個物體的體積或者通量之類的，需要選取積分上下限，這部分內容我放到了4.1.4）

其按z方向的投影是: $$dS=dxdy$$

4.1.2 柱坐標系下三重積分

柱坐標系是在極坐標的基礎上加上了豎直方向的z軸。
其一般的三重積分形式就是：
$${?}_{R}f?dzrdrd\theta$$

只求體積的話就是：
$${?}_{R}dzrdrd\theta$$
牢記極坐標與直角坐標系的轉化：
$$?\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ x^2+y^2=r^2\end{array}$$

按z軸進行投影的面積元公式為：
$$dS=rdrd\theta$$

4.1.3 球坐標系下三重積分

球坐標系是將直角坐標系的三個方向都換成了極坐標。
球坐標和柱坐標轉換關系如下：
$$\{\begin{array}{l}z=\rho \cos ?\\ r=\rho \sin ?\end{array}$$
球坐標和直角坐標轉換關系如下：
$$?\begin{array}{l}x=\rho \sin ?\cos \theta \\ r=\rho \sin ?\sin \theta \\ z=\rho \cos ?\\ \rho =\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}\end{array}$$
球坐標下三重積分的形式：
$${?}_{R}f?{\rho }^2\sin ?d\rho d?d\theta$$
其體積元的形式是：
$$dV={\rho }^2\sin ?d\rho d?d\theta$$
其$\rho$方向上的面積元形式是：
$$dS=\underset{\text{height}}{\rho d?}?\underset{\text{length}}{\rho \sin ?d\theta }={\rho }^2\sin ?d?d\theta$$

注意：

4.1.4 積分上下限的選擇

以上的三節重點是關注三重積分的形式，如果要具體計算某個三重積分，需要我們謹慎地選擇坐標系形式和積分的上下限。本節就以涉及直角坐標和柱坐標的例題來介紹如何選取上下限。
例題
求曲線$z=4?x^2?y^2$和$z=x^2+y^2$圍成的立體區域的體積。

解題步驟：

選取第一個投影方向，本題中選擇豎直方向z方向進行投影，其積分上下限為：
$x^2+y^2$和$4?x^2?y^2$

畫出兩曲線相交的平面，并將其投影到x-y平面，本例中的相交平面是：
$x^2+y^2=2$，是一個圓，如果選擇直角坐標系會使問題變復雜。

觀察該平面的形狀，選擇相應的坐標系。（這里選取極坐標，整體來說就是柱坐標），其相應的坐標上下限是:
$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}{\int }_{r^2}^{4?r^2}dzrdrd\theta$$

4.1.5 任意曲面的面積元

方法一

如果某個曲面的表達形式是$z=f(x,y)$，如果選擇的是直角坐標系的話且投影到水平面的話，面積元$\mathbf{n}dS=\pm <?f_x,?f_y,1>dxdy$
證明過程：

假設任意兩個不共線的向量$\mathbf{u},\mathbf{v}$，則它們就能夠構成面積元：$\mathbf{n}\Delta S=\pm \mathbf{u}\times \mathbf{v}$
上述式子滿足叉乘的基本性質，即叉乘的結果是有著面積元的大小$\Delta S$的法向量。如下圖，假設$\mathbf{u}$的方向是沿著$x$的方向，$\mathbf{v}$的方向是沿著$y$的方向，那么：
$$\mathbf{u}=(x+\Delta x,y,f(x+\Delta x,y))?(x,y,f(x,y))$$
又因為：
$$f(x+\Delta x,y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x$$
所以，
$$\mathbf{u}=(x+\Delta x,y,f(x,y)+f_x\Delta x)?(x,y,f(x,y))=<\Delta x,0,f_x\Delta =\Delta x<1,0,f_x>$$

同理，
$$\mathbf{v}=\Delta y<0,1,f_y>$$
兩者的叉乘結果是：$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=<?f_x,?f_y,1>\Delta x\Delta y$
也就得出:
$$\mathbf{n}d\sigma =<?f_x,f_y,1>dxdy$$

方法二

當某一曲線的表達式為：$f(x,y,z)=C$的時候，也就是曲線被表達成了等值面的時候可以用以下方法，因為梯度向量與等值面垂直，所以推導過程如下圖：

圖中面積元$\Delta S$與它的投影$\Delta A$之間存在一個余弦值的關系。該余弦值可以通過兩面積元的法向量的夾角計算得出，也就是$$d\sigma =\frac{?f}{f_z}dA$$
其中，$?f=<f_x,f_y,f_z>$

因為最近修的課程數學物理方法中涉及了正交曲線坐標系的變換方法，所以這一部分我會最近單獨寫一篇。

4.2 矢量場中的多重積分（重點）

4.2.1 三維矢量場

上一章中提到了平面內的向量場，這一章講三維平面內的矢量場。
三維矢量場的形式如下：
$$\mathbf{F}(x,y,z)=M(x,y,z)\mathbf{i}+N(x,y,z)\mathbf{j}+P(x,y,z)\mathbf{k}$$
如果$,M_x,M_y,M_z,N_x,N_y,N_z,P_x,P_y,P_z$都存在并且是連續的，則$\mathbf{F}$就是連續可微的。

三維矢量場的實例:
場的本意就是盡管它與物體不接觸，但它會對物體產生作用力。

力場
力場的例子可以是重力場，靜電場，電磁場等。

流體或速度場
例如描述空間中流體的運動的速度場。

4.2.2 三維空間中的通量及環量

通量Flux

三維矢量場穿過一個平面S的通量是：
$$\text{Flux}={?}_S\mathbf{F}?\mathbf{n}d\sigma$$
4.1.5中介紹了$\mathbf{n}d\sigma$的兩種計算方法，這里假設我們使用第二種，上述公式就變成了：
$$\text{Flux}={?}_S\mathbf{F}?\mathbf{n}d\sigma ={?}_S\mathbf{F}?\frac{?g}{|?g_z|}dA$$

環量Circulation

三維矢量場流經一條閉合曲線C的環量是：
$$\text{Circulation}={\oint }_C\mathbf{F}?d\mathbf{r}$$
這里環量的表達形式雖然和平面環量沒有不同，但是維度已經變成了三維。

4.2.3 三維空間中的散度和旋度

散度

數學表達式
一個向量場$\mathbf{F}=M\mathbf{i}+N\mathbf{j}+P\mathbf{k}$的散度為：
$$\text{div}\mathbf{F}=??\mathbf{F}=\frac{?M}{?x}+\frac{?M}{?y}+\frac{?P}{?z}$$

物理解釋
散度描述的是單位體積內由源產生的通量。
比如電場的散度定義為：
$$\text{div}\mathbf{E}=\underset{\Delta V\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta V}\oint \mathbf{E}?\mathbf{n}d\sigma$$

旋度

數學表達式
三維矢量場的旋度定義為：
$$\text{curl}\mathbf{F}=?\times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ {?}_x& {?}_y& {?}_z\\ M& N& P\end{array}\right|$$
$$\text{curl}\mathbf{F}=?\times \mathbf{F}=(P_y?N_z)\mathbf{i}+(M_z?P_x)\mathbf{j}+(N_x?M_y)\mathbf{k}$$
需要注意的是，二維平面中的旋度是三維旋度的$z$軸分量。

物理解釋
旋度可以是速度場某個方向的角速度。

特殊情況
梯度的旋度為0:
$$?\times ?f=0$$

4.2.4 三維空間中的散度定理和Stokes定理

A.散度定理 (Divergence Theorem)

三維向量場$\mathbf{F}$穿過一個閉合曲面$S$的通量（S的外法向量）等于散度在封閉曲面S包圍下的體積D的積分，其數學表達為：
$$?\mathbf{F}?\mathbf{n}d\sigma ={?}_D??\mathbf{F}dV$$

從量綱的角度理解這個公式我們可以發現，右邊的$?$算子對向量場$\mathbf{F}$進行了降維，但為了保證通量的量綱一致，右邊方程必須要對封閉曲面S包圍的體積D進行積分。這與散度的定義是一致的，散度是與面積無關的量。

B.Stokes定理

三維向量場$\mathbf{F}$流經一個閉合曲線$C$的環量等于旋度在曲面包圍下的面積S的積分，其數學表達為：
$$\underset{CounterclockwiseRotation}{{\oint }_C\mathbf{F}?d\mathbf{r}}={?}_S?\times F?\mathbf{n}d\sigma$$

4.3 三重積分的應用

三重積分的應用與二重積分的應用其實沒有本質性的差別，重點還是在求三維物體的質量，質心，轉動慣量等。

4.4 三重積分的實例——麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組是三重積分，通量環量和相關的散度定理stokes定理的一個非常重要的應用。我推薦以下三篇長尾科技的文章，盡管稍微有點長，但是寫的非常通俗易懂，我覺得非常管用。我過幾天再看一遍然后總結成單獨的文章好了。
積分形式
微分形式
電磁波方程推導

參考

《托馬斯微積分》

長尾科技公眾號

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多变量微积分（4）——多重积分之三重积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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