借此了解微積分的本質(zhì)，以此補全數(shù)學之源以及數(shù)學之用的空缺。參考《托馬斯微積分》和b站《微積分的本質(zhì)》

1? 從圓的面積說起

1.1 問題

? 古時候，人們想要知道圓的面積是多少？那么可以由幾種方案，一種是把圓鋪開，一種是把一個圓分成很多很多個圓環(huán)再

求和。這種思想就是微積分的來源。

形如上圖，我們把圓鋪開，其長度就是圓周長，其寬是dr，dr取的越小，自然也就越精確。

而把圓變成很多個環(huán)的話，每個環(huán)鋪開是一個長方形，將這些長方形的面積累加起來即可。如下圖

當dr取的越小越精確，自然就得到了三角形面積為圓面積的近似。我們似乎解決求出圓的面積問題，是一個更近似的過程。但數(shù)學家不會，數(shù)學家借助解決一個問題，他們希望解決一類問題，發(fā)展處解決這一類的問題的工具微積分應運而生。它的思想就是一句話

將所要實際問題的東西切分成一個很小很小的塊，然后求和。

比如非勻速汽車的行駛路程和時間關(guān)系，借助一個例子

我們想要知道這個函數(shù)的面積，那么利用微積分思想，其可以切分近似。

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2? 導數(shù)的悖論

?當我們討論導數(shù)時，我們不是在討論"瞬時速率“，我們在討論在一個極小的地方的變換率。比如汽車的行駛速度和時間以及路程的函數(shù)中

，

速度與時間的函數(shù)面積就是其路程，我們會遇到很多很多這樣的問題。

?比如在網(wǎng)絡傳播中，我們知道感染速度和感染時間的函數(shù)，那么其函數(shù)底下面積就是感染人數(shù)。感染速度越快，其感染人數(shù)越多，和上圖是一樣的邏輯，只不過在網(wǎng)絡上比較不好近似得到其函數(shù)關(guān)系，只能夠利用較強的假設得到。

導數(shù)的標準定義是：dr極小的變化率

3 求導的幾何意義

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利用導數(shù)的標準定義，再采取一個x平方的小例子。我們可以得到求導的幾何直觀理解，在上圖中，x的增加成為x+dx，那么其函數(shù)值增加為兩個小長方形+一個小正方形。小正方形因為包含dx而約去，兩個小長方形面積為2xdx，約去dx，就是留下來的導數(shù)2x了。

4 求導的種類

所有的求導依據(jù)導數(shù)標準定義都有其幾何方面的理解，求導主要由加，乘，復合三種基本運算直至所有的求導運算，只需要掌握這三種的本質(zhì)幾何解釋，其它求導都是一樣的。類似于線性代數(shù)，只需要理解向量及其加和數(shù)乘運算，其他都是一樣的。

下面看下求導的加法法則幾何理解，（從兩個函數(shù)根據(jù)dx變化之和理解）

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下面是求導的乘法法則幾何理解。(從兩個函數(shù)依據(jù)dx變化的面積考慮）

下面是求導的復合法則幾何理解。(從兩個函數(shù)依據(jù)dx變化的復合考慮）

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7? 極限

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這就是導數(shù)的定義，導數(shù)幫我們得到極限，而極限可以幫助我們計算導數(shù)。極限，強調(diào)的是趨于該點周圍附近的取值，而是該點取值。

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8 微積分基本定理

在這里，積分的幾何含義就出來了。比如我們有個小車是非勻速走完某段路的，假設我們坐在車里，僅僅能夠看到速度盤v(t)和一段時間t，如何求得t時刻走的路程呢？? 很明顯，我們知道v（t）函數(shù)下方的面積就是其走過的路程。我們又發(fā)現(xiàn)下方面積的函數(shù)f(t）的導數(shù)就是v（t），于是一切都顯然了，這也就介紹了為什么求積分可以用求原函數(shù)的方法代入上下限求解。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的微积分的本质的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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