課程鏈接：

算法設(shè)計與分析-最大流https://www.icourse163.org/learn/BUAA-1449777166?tid=1465293450#/learn/content?type=detail&id=1244171114

一、流網(wǎng)絡(luò)

流量/容量都表示在邊上，有源點和匯點

幾個概念：剩余流量、總流量、流量限制（條件）、流量守恒（條件）

?

二、最大流問題描述

?在滿足約束條件的情況下，讓總流量最大。

三、最大流算法思想

直觀的描述算法（需要改進）:

A：找出一條路徑，這條路徑點不重復(fù)，并且找出剩余流量的最小值作為這條路徑的流量。

?迭代尋找路徑，重復(fù)步驟A，增加總流量：

?直到最后，我們再也找不到可以增加總流量的路徑結(jié)束。

?但是，發(fā)現(xiàn)這種策略不一定能找到最大流。

發(fā)現(xiàn)我們的直觀策略，如果在某個路徑上 +1 的話是無法增加總流量的，但是減小某些路徑的流量，將流量大小進行再分配之后發(fā)現(xiàn)是可以增加總流量的。

于是，我們思考怎么調(diào)整直觀的策略。。。。

因為縮減邊上的流量可以進一步增大總流量，因此引入反向邊代表縮減的邊流量。

這種反向邊的邊權(quán)如何定義？

為了保證流量調(diào)整的合理性，?我們可以由原始邊產(chǎn)生一組殘存邊：

?我們定義殘存網(wǎng)絡(luò)（也叫余圖）

?在殘存網(wǎng)絡(luò)（余圖）中尋找增廣路徑。

最終形成了Ford-Fulkerson算法（FFA）思想

總結(jié)：我們算法改進的歷程（從直觀算法到Ford-Fulkerson算法）

四、示例分析

初始時刻的流網(wǎng)絡(luò)展示：

?將流網(wǎng)絡(luò)改造成殘存網(wǎng)絡(luò)（也就是他的余圖）：

需要注意的是，其實每個路徑都有正向邊和反向邊，只不過為0的就省去了

尋找這個殘存網(wǎng)絡(luò)的增廣路徑：

于是在增加了這條增廣路徑之后，我們得到了新的流網(wǎng)絡(luò):

根據(jù)這個新的流網(wǎng)絡(luò)得到新的殘存網(wǎng)絡(luò)：

?找到了新的殘存網(wǎng)絡(luò)之中的增廣路徑：

?得到新的流網(wǎng)絡(luò)：

?基于新的流網(wǎng)絡(luò)更新殘存網(wǎng)絡(luò)：

?發(fā)現(xiàn)新的增廣路徑：

更新流網(wǎng)絡(luò)：

?重復(fù)以上的三步循環(huán)。。。。

最終當(dāng)無法發(fā)現(xiàn)新的增廣路徑的時候，算法可以終止。?

四、分析FFA

時間復(fù)雜度：O(mC)
其中C為最大流的值，m為邊數(shù)

DFS查找增廣路徑P?，每次的DFS的時間復(fù)雜度就是O(邊數(shù))

運行時間依賴于增廣過程：

五、如何證明FFA可以獲得最優(yōu)解

FFA的正確性證明
?

?充分性：

必要性：
直接證明比較困難：
證明需要借助中間問題證明

我們引入“割”的概念：將最大流問題轉(zhuǎn)化為最小割問題?

給出割的容量的概念：

注意在計算割的容量的時候，我們考慮的是容量而不是流量

下面給出割與流的關(guān)系的定理：流值定理
流值：注意是出去和進入的路徑的流量的差值

S的流出也就是最大流 =??

話說回來：

最小割找的是什么？

瓶頸總?cè)萘恳簿褪沁@個分割流出的容量也就是這個割的容量是最小的，想要讓輸送的更多，卡脖子的地方就是在這個 割 的地方。

于是又根據(jù)流值定理，我們得到最大流的流值小于等于最小割的容量。

回到我們的必要性證明

?從而

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法课 - 最大流问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。