0x00 最大流

最大流量問題涉及通過最大單源單匯流網絡找到可行流量。如圖所示。

每個邊緣都標有容量，即可以攜帶的最大物品數量。 最大流問題是找出可以從頂點source到頂點sink總的物品數量（最大的那個）。

如上圖所示，當0->1和2->1匯聚的時候不能超出1->3的值12（1的輸出最大為12）。最后可以到達5的最大物品個數就是19+4=23。也就是每條邊和每個頂點要滿足：

• 每條邊上的流量不超過每條邊的給定容量。
• 除source和sink之外，每個頂點的流入流等于流出流。

0x01 殘差網絡和增廣路徑

對于解決最大流的問題，我們首先將問題簡單化，如圖所示

首先可以想到的思路就是每次流過的值最大就好啦。所以，從S出發每次選擇可以流出的最大流。

通過這種方式的得到的最后結果是3，顯然這是錯誤的（應該是5）。我們首先將上面的結果中被刪除的部分拿出來（沒有被使用的流）。

通過該刪除部分可以構成殘差網絡。給定圖形$G$和其中的流$f$，我們形成一個新的流網絡$G_f$，該網絡具有相同的頂點集$G$，并且每個$G$邊緣具有兩個邊。對于圖$G$的邊$e=(1,2)$ ，對應流為$f(e)$，容量為$c(e)$，形成的$G_f$的方向為1->2的邊（前向弧）容量為$c(e)?f(e)$，方向為2->1的邊（后向弧）的容量為$f(e)$。 殘差網絡如圖所示：

參差網絡的思想對于解決最大流問題非常有用。

還有一個需要用到的概念是增廣路徑。所謂增廣路徑，是指這條路徑上的流可以修改，通過修改，使得整個網絡的流值增大。 設$f$是一個可行流，$P$是從源點$s$到終點（匯點）$t$的一條路，若$p$滿足下列條件：

• 在$p$上的所有前向弧$(v_i\to v_j)$都是非飽和弧，即$0\le f_{i,j}<c_{i,j}$
• 在$p$上的所有后向弧$(v_i\leftarrow v_j)$都是非零弧，即$0<f_{i,j}\le c_{i,j}$

則稱$p$為(關于可行流$f$的)一條可增廣路徑。

0x02 Ford-Fulkerson算法

首先需要知道最大流最小割定理。如果$f$是具有源點$s$和匯點$t$的流網絡$G=(V,E)$中的一個流，則下列條件是等價的：

• $f$是$G$的一個最大流。
• 殘留網絡$G_f$不包含增廣路徑。
• 對$G$的某個割$(S,T)$，有$|f|=c(S,T)$。

上述定理的證明可以參看這里定理證明，這里就不細說。

Ford-Fulkerson算法是一種迭代方法。開始時，對所有$u,v\in V$有$f(u,v)=0$，即初始狀態時流的值為$0$。在每次迭代中，可通過尋找一條增廣路徑來增加流值。增廣路徑可以看做是從源點$s$到匯點$t$之間的一條路徑，沿該路徑可以壓入更多的流，從而增加流的值。反復進行這一過程，直至增廣路徑都被找出為止。最大流最小割定理將說明在算法終止時，這一過程可產生出最大流。

from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self,graph): self.graph = graph self.ROW = len(graph) def bfs(self, s, t, parent):visited = [False]*self.ROWqueue = [s] visited[s] = Truewhile queue: u = queue.pop(0) for ind, val in enumerate(self.graph[u]): if visited[ind] == False and val > 0 : queue.append(ind) visited[ind] = Trueparent[ind] = u return True if visited[t] else Falsedef FordFulkerson(self, source, sink): parent = [-1]*self.ROW max_flow = 0 while self.bfs(source, sink, parent): #判斷增廣路徑 path_flow, s = float("Inf"), sinkwhile s != source: #計算增廣路徑的最小流量，通過最小流量計算殘差網絡path_flow = min(path_flow, self.graph[parent[s]][s]) s = parent[s] max_flow += path_flow v = sink while v != source: #計算殘差網絡u = parent[v] self.graph[u][v] -= path_flow self.graph[v][u] += path_flow v = parent[v] return max_flow graph = [[0, 16, 13, 0, 0, 0], [0, 0, 10, 12, 0, 0], [0, 4, 0, 0, 14, 0], [0, 0, 9, 0, 0, 20], [0, 0, 0, 7, 0, 4], [0, 0, 0, 0, 0, 0]] g = Graph(graph) source, sink = 0, 5 print("The maximum possible flow is %d " % g.FordFulkerson(source, sink))

該算法的時間復雜度是$O(V{E}^2)$。

0x03 Dinic算法

Ford-Fulkerson算法對于稀疏圖來說還不錯，但是當邊的數目過多的時候我們就需要更好的Dinic算法，該算法的時間復雜度是$O(E{V}^2)$。

首先使用給定的圖初始化殘差網絡（和之前做法一樣），如圖所示。

第一次迭代：我們使用BFS為所有節點分配級別，同事需要檢查是否有增廣路徑（殘差網絡中是否存在$s\to t$路徑）。

現在，我們使用級別來發送流（意味著每個流路徑的級別都應為0、1、2、3）。與Ford-Fulkerson算法相比，我們一次發送三個流。

• 路徑$s–1–3–t$上有4個流量單位。
• 路徑$s–1–4–t$上有6個流量單位。
• 路徑$s–2–4–t$上有4個流量單位。

總流量=4 + 6 + 4 = 14。一輪迭代后，殘差圖變為下圖。

第二次迭代：我們使用bfs遍歷上述修改后的殘差圖，為所有節點分配新級別。

現在，我們使用級別來發送流（意味著每個流路徑的級別都應為0、1、2、3、4）。 這次我們只能發送一個流。

• 路徑$s–2–4–3–t$上有5個流量單位

總流量=總流量+ 5 = 19。二輪迭代后，殘差圖變為下圖。

第二次迭代：此時已經沒有增廣路徑了，所以結束。

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std;const int N = 1e5 + 10, M = N * 2; struct Edge {int to, next, w; } edge[M];int cur[N], head[N], idx = -1; //cur用于當前弧優化 int n, m, s, t;void add(int u, int v, int w) {edge[++idx].to = v;edge[idx].next = head[u];edge[idx].w = w;head[u] = idx; }int q[N], level[N]; bool bfs(int u, int v) //判斷是否存在增廣路徑，構建路徑級別 {int hh = 0, tt = 0;q[0] = u;memset(level, -1, sizeof level);level[u] = 0;while (hh <= tt){int tmp = q[hh++];for (int i = head[tmp]; ~i; i = edge[i].next){int son = edge[i].to;if (edge[i].w <= 0 || ~level[son]) continue;level[son] = level[tmp] + 1;q[++tt] = son;}}return ~level[v]; }int dfs(int u, int v, int flow) //尋找增廣路徑 {if (u == v) return flow;int res = 0;//注意使用引用，這樣i變化的同時也能改變cur[u]的值，達到記錄當前弧的目的for (int& i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next){int son = edge[i].to;if (edge[i].w <= 0 || level[son] != level[u] + 1) continue;if (res = dfs(son, v, min(edge[i].w, flow))){edge[i].w -= res; edge[i^1].w += res;return res;}}return res; }int dinic(int u, int v) {int res = 0;while (bfs(u, v)){for (int i = 0; i <= n; i++) cur[i] = head[i];res += dfs(u, v, 0x3f3f3f3f);}return res; }int main() {cin >> n >> m >> s >> t;memset(head, -1, sizeof head);for (int i = 0; i < m; ++i){int a, b, w;cin >> a >> b >> w;add(a, b, w), add(b, a, 0);}cout << dinic(s, t);return 0; }

reference:

https://www.geeksforgeeks.org/max-flow-problem-introduction/

https://www.geeksforgeeks.org/ford-fulkerson-algorithm-for-maximum-flow-problem/

https://www.geeksforgeeks.org/dinics-algorithm-maximum-flow/

https://www.cnblogs.com/gaochundong/p/ford_fulkerson_maximum_flow_algorithm.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大流问题（超详细！！！）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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