上兩篇文章，我介紹了最短路徑中的兩種算法：
最短路徑算法——清晰簡單的弗洛伊德算法(Floyd)
最短路徑算法——簡單明了的迪杰斯特拉算法(Dijkstra)
這篇文章，我來簡單介紹一下最大流模型！

最大流模型

\qquad很多的數學模型往往來源于生活問題，本文介紹其中一個問題借此引出最大流模型，讓讀者能夠更好地了解模型的背景以及應用。
\qquad現有一管道網絡用于運輸原油，將原油從油井運輸到提煉廠，為了在網絡中順暢地輸運原油，需要在中間合適的距離安裝增壓泵站，每一段管道有一個有限的最大原油流量（容量），每段管道可以是單向，也可以是雙向，取決于它的原始設計。那么如何確定從油井到提煉廠原油的最大流量？
\qquad下面給定雙向弧的相關概念：
\qquad給定弧$(i,j)$，其中$i<j$，用符號$({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$表示兩個方向$i\to j，j\to i$弧上的容量。為了更清晰地描述，把${\overline{C}}_{ij}$放在靠近節點$i$的一邊，把${\overline{C}}_{ji}$放在靠近節點$j$的一邊，如下圖所示。
$${\overline{C}}_{ij}表示從i\to j的弧上的容量，{\overline{C}}_{ji}表示從j\to i的弧上的容量$$

1 枚舉割

\qquad割（cut） 是一部分弧的集合，如果將這些弧從網絡中刪除，就會斷開源點和匯點之間所有的流。割的容量等于這個割中所有弧上容量的和。在網絡中所有可能的割中，最小容量的割就對應了這個網絡的最大流。

例子

如下圖網絡，按照上述表示方法對每一條雙向弧都標上了容量。例如，對于弧(3,4)，從節點3到節點4的流量限制為10單位，從節點4到節點3為5單位。我直接在圖中，標出了該網絡的3個割：

圖中3個割的容量如下表：

割相應的弧容量

1	(1,2),(1,3),(1,4)	20+30+10=60
2	(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)	30+10+40+30=110
3	(2,3),(3,5),(4,5)	30+20+20=70

從表中可以看出，該網絡最大流不超過60個單位。枚舉所有割，對于小型網絡是可行的，但是對于比較復雜的網絡，效率就很低了，所以需要尋找其他算法。

2 最大流算法

2.1 原理

\qquad最大流算法的核心思想是：從網絡中尋找從源點到匯點具有正的流的突破路徑。
\qquad弧$(i,j)$上的初始容量$({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$，當給定一個流并找到突破路徑后，需要對每條弧上的容量進行修改，修改后的容量稱為剩余容量$(c_{ij},c_{ji})$。 如果節點$j$從節點$i$接收到一個流，那么給節點$j$標號為$[a_j,i]$(節點$j$的表示)。其中$a_j$表示從節點$i$流到節點$j$的量，$i$表示流的來源是節點$i$。

2.2 步驟

第1步： 首先將所有弧$(i,j)$的剩余容量設為初始容量，即$(c_{ij},c_{ji})=({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$.取$a_1=\infty$，則源點1標號為$[\infty ,?]$. 令$i=1$，進入第2步。

第2步： 確定集合$S_i$，它是節點$i$通過剩余容量為正的弧能夠直接到達的所有未標號的節點$j$的集合。如果$S_i=?$，進入第3步；否則，進入第4步。

第3步： 確定$k\in S_i$，使之滿足$c_{ik}=\underset{j\in S_i}{\max }\{c_{ij}\}$. 令$a_k=c_{ik}$，并且給節點$k$標號$[a_k,i]$.如果$k=n$，此時匯點（終點）得到了標號，也找到了一條突破路徑，進入第5步；否則令$i=k$，轉回第2步。

第4步（回溯）： 如果$i=1$，那么不存在突破路徑，進入第6步；否則，令$r$是緊鄰在當前節點$i$之前得到標號的節點，并將節點$i$從節點$r$的相鄰節點集合中刪除，令$i=r$，轉回第2步。

第5步（剩余容量的確定）： 令$N_p=(1,k_1,k_2,...,n)$是從源點1到匯點$n$的第$p$條突破路徑，則這條路徑上最大流量為:
$$f_p=min(a_1,a_{k1},a_{k2},...,a_n)$$
\qquad這條路徑上每條弧的剩余容量在順著流的方向上$f_p$是減少的，在逆著流的方向上$f_p$是增加的。
\qquad例如，對于該路徑上的節點$i$與節點$j$，當前剩余容量為$(c_{ij},c_{ji})$變為：
\qquad<\a> 如果流是從節點$i$流向節點$j$，則弧上的剩余容量為$(c_{ij}?f_p,c_{ji}+f_p)$;
\qquad<\b> 如果流是從節點$j$流向節點$i$，則弧上的剩余容量為$(c_{ij}+f_p,c_{ji}?f_p)$;
\qquad恢復第4步刪除掉的節點，然后令$i=1$，轉回第2步接著尋找新的突破路徑。

第6步（最優解）：
\qquad<\a> 給出已經找到的$m$條突破路徑，那么網絡的最大流為：
$$F=f_1+f_2+...+f_m$$
\qquad<\b> 根據每條弧$(i，j)$上的初始的和最終的剩余容量，$(c_{ij},c_{ji})和({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$按照下面的方法確定該弧上的最優流：令$(x,y)=({\overline{C}}_{ij}?c_{ij},{\overline{C}}_{ji}?c_{ji})$，如果$x>0$，那么從節點$i$流向節點$j$的最優流是$x$個單位；如果$y>0$，那么從節點$j$流向節點$i$的最優流是$y$個單位.(注意$x,y$不能同時為正數).

3 總結

\qquad由于例子過于繁雜，這里就不做具體展示，有興趣的讀者可以參考運籌學相關書籍，這里推薦2本我覺得不錯的，分別是：
《運籌學導論》 作者：[美]Hamdy A·Taha 出版社：人民郵電出版社；
《運籌學》 作者：運籌學教程編寫組 出版社：清華大學出版社

運籌學導論

運籌學

總結

以上是生活随笔為你收集整理的运筹学—最大流模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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