在介紹統(tǒng)計學(xué)中最重要的定理之一-中心極限定理-之前，我們先來想一個問題：統(tǒng)計學(xué)的目的是什么？根據(jù)<Mathematical statistics with application 7th Edition>書中所寫的：

統(tǒng)計學(xué)的目的是基于從總體中的樣本所獲得的信息，對總體進(jìn)行推斷，并且提供推斷的準(zhǔn)確性。

這其中有幾個關(guān)鍵詞：總體，樣本，推斷。總體的含義就是所研究對象的所有可能的數(shù)據(jù)，比如，全世界每個人的身高，工廠上個月生產(chǎn)出來的每個燈泡的壽命等等。樣本的概念是從總體中衍生出來的，比如，全世界任意20個人的身高，工廠上個月任意100個燈泡的壽命，樣本就是總體的一個子集。通常情況下總體的數(shù)據(jù)是難以獲得的，而樣本是容易得到的，所以統(tǒng)計學(xué)的目的就是從樣本數(shù)據(jù)來推斷總體。

接下來我們通過一個實際例子來介紹中心極限定理：

一個工廠所生產(chǎn)的燈泡的平均壽命是1000小時，方差是25個小時。我買了36個燈泡裝在家里，那么這個9個燈泡的平均壽命超過1005小時的概率是多少

求解問題的第一步是將實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型。在實際應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型的建立遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比解題方法更重要。首先定義隨機變量：

由題中信息可得：

那么問題的求解轉(zhuǎn)化為求解

。

我們并不知道隨機變量

的概率分布，因此我們需要將其轉(zhuǎn)化為概率分布已知的隨機變量，這里就需要用到中心極限定理：設(shè)定有 個獨立且完全相同的隨機變量 ，他們的期望 ，方差 。定義隨機變量：
那么，當(dāng) 趨向于無窮大時，隨機變量 趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

回到我們的問題，求解

，我們并不清楚 這個隨機變量的概率分布，但是根據(jù)中心極限定理，我們知道 的概率分布近似為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（當(dāng) 足夠大時），其中 為總體的均值，在此題中為1000， 為標(biāo)準(zhǔn)差，在此題中為5， 為樣本數(shù)量，在此題中為樣本燈泡的數(shù)量36。那么有：

其中

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ，從可以求得 的概率。

中心極限定理實際上是揭示了任意一個總體中樣本均值的分布規(guī)律。

通常在教科書中，在描述完中心極限定理后，會出現(xiàn)3個字：證明略。接下來本文使用隨機變量特征函數(shù)的方式來對其進(jìn)行證明。

首先，引入隨機變量特征函數(shù)的概念。對于隨機變量

，定義其特征函數(shù)為：

，其中 為任意實數(shù)。

那么對于

，其特征函數(shù)為：

，

為 的特征函數(shù)。

在0點處的泰勒展開形式為：

所以， 為：

而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

特征函數(shù)也為 ，根據(jù)特征函數(shù)的唯一性定理，所以 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，證畢。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的tutte定理证明hall定理_深入浅出|中心极限定理（Central Limit Theorem）及证明的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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