基于三維沖擊波的變分理論--交通運輸工程（一）

• 沖擊波理論
• 基于三維沖擊波的變分理論

寫在最前：很幸運的是畢業后還在從事研究生期間相關的科研工作，不見得非常喜歡這個專業，但在這個專業近10年的學習時間里，還是想看到自己做的東西能落地并且付諸到工程實踐中。最近在做車輛到達-駛離曲線相關的研究，發現很多教科書級的原理忘記了，走了很多彎路，因此想要寫下研究生期間所用到的一系列方法論：基于三維沖擊波的變分理論、copula理論、卡爾曼濾波、最短路算法、車輛到達-駛離曲線、LSTM NN等。無論以后的職業生涯是選擇 浩瀚宇宙還是數據分析相關，都希望留下一些東西，僅此紀念。
讀研期間，搞了至少兩個國內交通領域鮮少有人研究的方法論，苦是真的苦：英文文獻讀到頭禿，給世界各地的學們者發郵件詢問問題（很多聯系郵箱被遺棄了，一封封被退回來，再找相關最新期刊的聯系方式，這個過程太酸爽了），坐冷板凳的焦慮感等。但文章被國際高水平期刊收錄的那一刻或者專利被授權的那一刻真的很有成就感，那些晚上回寢室的路上連只汪都沒有的日子好像都值得了。
本文會適當參雜英文注解，因為該理論最初是國外的學術大牛們提出的，“沖擊波理論”也是翻譯過來的。我們用到的很多方法論都是翻譯過來的，如果能讀最初的原汁原味的著作會很有幫助。

沖擊波理論

沖擊波理論（the kinematic wave theory，也稱LWR理論）最初是由Lighthill, M. J和Whitham, G. B. 以及Richards, P. I. 于上世紀50年代提出的，他們將交通流類比為由車輛組成的可壓縮連續流體介質，用車流的平均速度（velocity）、平均密度（density）和流率（flow）等宏觀變量來描述交通流的演化過程。LWR理論的核心是時空中任意一點的流量q和密度k之間的函數關系。假設研究區域沒有駛入駛出，守恒定律滿足下述關系：

沖擊波理論可以描述道路交通流在時空上的變化特征，是估計車輛運行軌跡的基礎。Newell, G. F.在整合駛入-駛出累積曲線和沖擊波理論的基礎上，通過在時空圖二維坐標系中增加路網節點的累積車輛數量（第三維），提出了三維沖擊波理論。假設在封閉的一維研究區域中，車輛遵守先進先出（First In First Out，簡稱FIFO）的原則，那么在距離dx的空間范圍內，通過的累計車輛數為

其中，N(x,t) 是指在點(x,t)處的累計車輛數；在分段線性基本圖（即三角形基本圖）的假設下 dN只取兩個值：交通波向前傳遞時為0，向后傳播時為（kj * dx） ，kj 是指阻塞密度。

基于三維沖擊波的變分理論

在三維沖擊波理論的基礎上，Daganzo, C. F.于2005年提出了一種基于變分理論（Variational Theory，簡稱VT）和比較通行能力約束的路網交通流計算模型。該計算模型在初始點 (x0,t0)給定一定的邊界條件，即可估計時空圖中任意一點 (x,t)處的累積車輛數。本文將該模型定義為基于三維沖擊波的變分理論（the variational theory of kinematic waves為原文）。
在應用層面，基于三維交通波的變分理論從本質上講反映了具有凹密度函數關系的沖擊波形式的交通流問題可以通過在離散化時空網格上使用最短路徑法加以解決。所以基于三維交通波的變分理論的應用基礎是離散化時空圖，如下圖（初始變分網絡）所示。

在三角形基本圖的假設下，離散化時空圖的參數認為已知。其中，前向弧波速為 u（自由流速度），后向弧波速為 w（消散波速度），時間步長 tstep 作為輸入變量通常假設為1s以方便計算，空間步長sstep可通過如下公式獲得。
其中， 和 qmax和kj分別表示最大流量和阻塞密度，通常可以從實際數據中獲得。

總結：基于三維沖擊波的變分理論有一個強假設，即流量-密度關系服從三角形基本圖。該理論在實際的應用中國是通過離散化時空圖實現的。

文獻參考
[1] Lighthill M J, Whitham G B. On Kinematic Waves. I. Flood Movement in Long Rivers[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1955, 229(1178):281-316.
[2] Richards P I. Shock Waves on the Highway[M]. INFORMS, 1956.
[3] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part I: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 281-287.
[4] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅱ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 289-303.
[5] Newell G F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic, part Ⅲ: General theory[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1993, 27(4): 305-313.
[6] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: basic theory and complex boundary conditions[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(2): 187-196.
[7] Daganzo C F. A variational formulation of kinematic waves: Solution methods[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 2005, 39(10): 934-950.

感謝Daganzo C F將基于三維交通波的變分理論變為可解的，才有了研究生期間的研究。

～～先粗略的寫一個版本，后續再優化公式和排版。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于三维冲击波的变分理论--交通运输工程（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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