簡介

kd樹（k-dimensional樹的簡稱），是一種分割k維數(shù)據(jù)空間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。主要應(yīng)用于多維空間關(guān)鍵數(shù)據(jù)的搜索（如：范圍搜索和最近鄰搜索）。

一個KDTree的例子

上圖的樹就是一棵KDTree，形似二叉搜索樹，其實(shí)KDTree就是二叉搜索樹的變種。這里的K = 3.

首先來看下樹的組織原則。將每一個元組按0排序（第一項(xiàng)序號為0，第二項(xiàng)序號為1，第三項(xiàng)序號為2），在樹的第n層，第 n%3 項(xiàng)被用粗體顯示，而這些被粗體顯示的樹就是作為二叉搜索樹的key值，比如，根節(jié)點(diǎn)的左子樹中的每一個節(jié)點(diǎn)的第一個項(xiàng)均小于根節(jié)點(diǎn)的的第一項(xiàng)，右子樹的節(jié)點(diǎn)中第一項(xiàng)均大于根節(jié)點(diǎn)的第一項(xiàng)，子樹依次類推。

對于這樣的一棵樹，對其進(jìn)行搜索節(jié)點(diǎn)會非常容易，給定一個元組，首先和根節(jié)點(diǎn)比較第一項(xiàng)，小于往左，大于往右，第二層比較第二項(xiàng)，依次類推。

分割的概念

看了上面的例子，確實(shí)比較簡單，但不知道為何要這樣做，這里從幾何意義出發(fā)，引出分割的概念。

先看一個標(biāo)準(zhǔn)的BSTree，每個節(jié)點(diǎn)只有一個key值。

將key值對應(yīng)到一維的坐標(biāo)軸上。

根節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的就是2，左子樹都在2的左邊，右子樹都在2的右邊，整個一維空間就被根節(jié)點(diǎn)分割成了兩個部分，當(dāng)要查找結(jié)點(diǎn)0的時候，由于是在2的左邊，所以可以放心的只搜索左子樹的部分。整個搜索的過程可以看成不斷分割搜索區(qū)間的過程，直到找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)。

這樣的分割可以擴(kuò)展到二維甚至更多維的情況。

但是問題來了，二維的節(jié)點(diǎn)怎么比較大小？

在BSTree中，節(jié)點(diǎn)分割的是一維數(shù)軸，那么在二維中，就應(yīng)當(dāng)是分割平面了，就像這樣：

黃色的點(diǎn)作為根節(jié)點(diǎn)，上面的點(diǎn)歸左子樹，下面的點(diǎn)歸右子樹，接下來再不斷地劃分，最后得到一棵樹就是赫赫有名的BSPTree（binary?space partitioning tree）. 分割的那條線叫做分割超平面（splitting hyperplane），在一維中是一個點(diǎn)，二維中是線，三維的是面。

KDTree就是超平面都垂直于軸的BSPTree。同樣的數(shù)據(jù)集，用KDTree劃分之后就是這樣：

黃色節(jié)點(diǎn)就是Root節(jié)點(diǎn)，下一層是紅色，再下一層是綠色，再下一層是藍(lán)色。為了更好的理解KDTree的分割，我們在圖形中來形象地看一下搜索的過程，假設(shè)現(xiàn)在需要搜尋右下角的一個點(diǎn)，首先要做的就是比較這個點(diǎn)的x坐標(biāo)和root點(diǎn)的x坐標(biāo)值，由于x坐標(biāo)值大于root節(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)，所以只需要在右邊搜尋，接下來，要比較該節(jié)點(diǎn)和右邊紅色節(jié)點(diǎn)y值得大小...后面依此類推。整個過程如下圖：

? ?->??->

理解完KDTree之后，下面要說的就是關(guān)于KDTree的兩個最重要的問題：

1.樹的建立；

2.最近鄰域搜索（Nearest-Neighbor Lookup）。

?

樹的建立

先定義一下節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。每個節(jié)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)有下面幾個域：

Node-data - ?數(shù)據(jù)矢量， 數(shù)據(jù)集中某個數(shù)據(jù)點(diǎn)，是n維矢量（這里也就是k維）
Range ?- 空間矢量， 該節(jié)點(diǎn)所代表的空間范圍
split??-?整數(shù)， 垂直于分割超平面的方向軸序號
Left??-?k-d樹， 由位于該節(jié)點(diǎn)分割超平面左子空間內(nèi)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)所構(gòu)成的k-d樹
Right??-?k-d樹， 由位于該節(jié)點(diǎn)分割超平面右子空間內(nèi)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)所構(gòu)成的k-d樹
parent??-?k-d樹， 父節(jié)點(diǎn)

建立樹最大的問題在于軸點(diǎn)（pivot）的選擇，選擇好軸點(diǎn)之后，樹的建立就和BSTree差不多了。

建樹必須遵循兩個準(zhǔn)則：

1.建立的樹應(yīng)當(dāng)盡量平衡，樹越平衡代表著分割得越平均，搜索的時間也就是越少。

2.最大化鄰域搜索的剪枝機(jī)會。

第一種選取軸點(diǎn)的策略是median of the most?spread dimension pivoting?strategy，對于所有描述子數(shù)據(jù)（特征矢量），統(tǒng)計(jì)他們在每個維度上的數(shù)據(jù)方差，挑選出方差中最大值，對應(yīng)的維就是split域的值。數(shù)據(jù)方差大說明沿該坐標(biāo)軸方向上數(shù)據(jù)點(diǎn)分散的比較開。這個方向上，進(jìn)行數(shù)據(jù)分割可以獲得最好的平衡。數(shù)據(jù)點(diǎn)集Data-Set按照第split維的值排序，位于正中間的那個數(shù)據(jù)點(diǎn) 被選為軸點(diǎn)（軸點(diǎn)就是概率論中的中位數(shù)）。

?

但是問題來了，理論上空間均勻分布的點(diǎn)，在一個方向上分割只有，通過計(jì)算方差，下一次分割就不會出現(xiàn)在這個方向上了，但是一些特殊的情況中，還是會出現(xiàn)問題，比如

這樣就會出現(xiàn)很多長條的分割，對于KDTree來說是很不利的。

為了避免這種情況，需要修改一下算法（其實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中也不會有那個時間去修改的，直接就換算法了），維度的選擇的依據(jù)為數(shù)據(jù)范圍最大的那一維作為分割維度，之后也是選中這個維度的中間節(jié)點(diǎn)作為軸點(diǎn)（這個意思就是不再輪流比較各個維度了，而是總是比較同一個維度），然后進(jìn)行分割，分割出來的結(jié)果是：

（觀察這個圖的右上方，可以看到，y維度分布范圍更大，那就橫切y維度，取中位點(diǎn)，

同理左下方x維度分布范圍更大，那就取x維的中位點(diǎn)，然后縱向切）

這樣的結(jié)果對于最鄰近搜索是非常友好的。

但是這樣做還是有一些不好，就是在樹上很可能有一些空的節(jié)點(diǎn)，當(dāng)要限制樹的高度的時候，這種方法就不合適了。

自己總結(jié)：以上這個例子的意思就是，我們是通過方差來決定下一維度到底是x維還是y維度，但是可能存在一種情況，就是每次計(jì)算都是某一維的方差大，這個時候，就要換一種判定“分割維”的方式，采用“數(shù)據(jù)分散得最開”的那一維度作為下一個“分割維度”，用來對于當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)所在的子樹的大小判斷（根節(jié)點(diǎn)與左右子節(jié)點(diǎn)的大小判斷）

之所以要選擇方差最大、或者數(shù)據(jù)范圍遍及最廣的維度，是因?yàn)閺倪@種特性入手，可以最快縮短測試點(diǎn)和最近點(diǎn)的距離，試想一個例子，如果下面三個點(diǎn)：

(2.1,9),(2.2,18),(2,3,36)這么三個點(diǎn)，切割維必須是y，如果是x的話，對于計(jì)算距離是沒有幫助的，y維度他可以幫助迅速縮短與最近點(diǎn)的距離

鄰近搜索

給定一個KDTree和一個節(jié)點(diǎn)，求KDTree中離這個節(jié)點(diǎn)最近的節(jié)點(diǎn).(這個節(jié)點(diǎn)就是最臨近點(diǎn))

這里距離的求法用的是歐式距離。

?

基本的思路很簡單：首先通過二叉樹搜索（比較待查詢節(jié)點(diǎn)和分裂節(jié)點(diǎn)的分裂維（所謂的分裂維，就是某個坐標(biāo)的一個軸的值）的值，小于等于就進(jìn)入左子樹分支，等于就進(jìn)入右子樹分支直到葉子結(jié)點(diǎn)），順著“搜索路徑”很快能找到最近鄰的近似點(diǎn)，也就是與待查詢點(diǎn)處于同一個子空間的葉子結(jié)點(diǎn)；然后再回溯搜索路徑，并判斷搜索路徑上的結(jié)點(diǎn)的其他子結(jié)點(diǎn)空間中是否可能有距離查詢點(diǎn)更近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，如果有可能，則需要跳到其他子結(jié)點(diǎn)空間中去搜索（將其他子結(jié)點(diǎn)加入到搜索路徑）。重復(fù)這個過程直到搜索路徑為空。（這個需要找具體例子來理解）

這里還有幾個細(xì)節(jié)需要注意一下，如下圖，假設(shè)標(biāo)記為星星的點(diǎn)是 test point， 綠色的點(diǎn)是找到的近似點(diǎn)，在回溯過程中，需要用到一個隊(duì)列，存儲需要回溯的點(diǎn)，在判斷其他子節(jié)點(diǎn)空間中是否有可能有距離查詢點(diǎn)更近的數(shù)據(jù)點(diǎn)時，做法是以查詢點(diǎn)為圓心，以當(dāng)前的最近距離為半徑畫圓，這個圓稱為候選超球（candidate hypersphere），如果圓與回溯點(diǎn)的軸相交，則需要將軸另一邊的節(jié)點(diǎn)都放到回溯隊(duì)列里面來。

判斷軸是否與候選超球相交的方法可以參考下圖：

?

下面再用一個例子來具體說一下查詢的過程。

假設(shè)我們的k-d tree就是上面通過樣本集{(2,3), (5,4), (9,6), (4,7), (8,1), (7,2)}創(chuàng)建的。
我們來查找點(diǎn)(2.1,3.1)，

在(7,2)點(diǎn)測試到達(dá)(5,4)，

在(5,4)點(diǎn)測試到達(dá)(2,3)，

然后search_path中的結(jié)點(diǎn)為<(7,2), (5,4), (2,3)>，

從search_path中取出(2,3)作為當(dāng)前最佳結(jié)點(diǎn)nearest, dist為0.141；

然后回溯至(5,4)，以(2.1,3.1)為圓心，以dist=0.141為半徑畫一個圓，

并不和超平面y=4相交，如下圖，所以不必跳到結(jié)點(diǎn)(5,4)的右子空間去搜索，因?yàn)橛易涌臻g中不可能有更近樣本點(diǎn)了。
于是在回溯至(7,2)，同理，以(2.1,3.1)為圓心，以dist=0.141為半徑畫一個圓并不和超平面x=7相交，所以也不用跳到結(jié)點(diǎn)(7,2)的右子空間去搜索。
至此，search_path為空，結(jié)束整個搜索，返回nearest(2,3)作為(2.1,3.1)的最近鄰點(diǎn)，最近距離為0.141。

總結(jié)這里的圓是在查詢到最后一個節(jié)點(diǎn)的時候，半徑=（被查詢點(diǎn)-樹的最下面的葉子節(jié)點(diǎn)的差值）2，然后再在回溯的時候，看看被回溯的樣本點(diǎn)會不會落在這個圓里面，如果落在里面，那么修改圓半徑，否則就認(rèn)為當(dāng)前最短

再舉一個稍微復(fù)雜的例子，

我們來查找點(diǎn)(2,4.5)，

在(7,2)處測試到達(dá)(5,4)，

在(5,4)處測試到達(dá)(4,7)，

然后search_path中的結(jié)點(diǎn)為<(7,2), (5,4), (4,7)>，

從search_path中取出(4,7)作為當(dāng)前最佳結(jié)點(diǎn)nearest,

dist（半徑距離）為3.202；
然后回溯至(5,4)，以(2,4.5)為圓心，以dist=3.202為半徑畫一個圓與超平面y=4相交，如下圖，所以需要跳到(5,4)的左子空間去搜索。所以要將(2,3)加入到search_path中，現(xiàn)在search_path中的結(jié)點(diǎn)為<(7,2), (2, 3)>；另外，(5,4)與(2,4.5)的距離為3.04 < dist = 3.202，所以將(5,4)賦給nearest，并且dist=3.04。（可以看到這里最近點(diǎn)進(jìn)行了更替，由(4,7)改成了(5,4)）
回溯至(2,3)，(2,3)是葉子節(jié)點(diǎn)，直接平判斷(2,3)是否離(2,4.5)更近，計(jì)算得到距離為1.5，所以nearest更新為(2,3)，dist更新為(1.5)
回溯至(7,2)，同理，以(2,4.5)為圓心，以dist=1.5為半徑畫一個圓并不和超平面x=7相交, 所以不用跳到結(jié)點(diǎn)(7,2)的右子空間去搜索。

至此，search_path為空，結(jié)束整個搜索，返回nearest(2,3)作為(2,4.5)的最近鄰點(diǎn)，最近距離為1.5。

所以在搜索中可能會出現(xiàn)不同的情況，比如下面的兩張圖就是比較極端的兩個例子。

?

代碼清單

以下是k-d樹的c++代碼實(shí)現(xiàn)，包括建樹過程和搜索過程。算法main函數(shù)輸入k-d樹訓(xùn)練實(shí)例點(diǎn)，算法會完成建樹操作，隨后可以輸入待查詢的目標(biāo)點(diǎn)，程序?qū)阉鱇-d樹找出與輸入目標(biāo)點(diǎn)最近鄰的訓(xùn)練實(shí)例點(diǎn)。本程序只實(shí)現(xiàn)了1近鄰搜索(所以下面的代碼就不值得看了)，如果要實(shí)現(xiàn)k近鄰搜索，只需對程序稍作修改。比如可以對每個結(jié)點(diǎn)添加一個標(biāo)記，如果已經(jīng)輸出該結(jié)點(diǎn)為最近鄰結(jié)點(diǎn)，那么就繼續(xù)查找次近鄰的結(jié)點(diǎn)，直到輸出k個結(jié)點(diǎn)后算法結(jié)束。

#include?<iostream>?????? #include?<algorithm>?????? #include?<stack>?????? #include?<math.h>?????? using?namespace?std;?????? /*function?of?this?program:?build?a?2d?tree?using?the?input?training?data???the?input?is?exm_set?which?contains?a?list?of?tuples?(x,y)???the?output?is?a?2d?tree?pointer*/??????struct?data?????? {??????double?x?=?0;??????double?y?=?0;?????? };??????struct?Tnode?????? {??????struct?data?dom_elt;??????int?split;??????struct?Tnode?*?left;??????struct?Tnode?*?right;?????? };??????bool?cmp1(data?a,?data?b){??????return?a.x?<?b.x;?????? }??????bool?cmp2(data?a,?data?b){??????return?a.y?<?b.y;?????? }??????bool?equal(data?a,?data?b){??????if?(a.x?==?b.x?&&?a.y?==?b.y)??????{??????return?true;??????}??????else{??????return?false;??????}?????? }??????void?ChooseSplit(data?exm_set[],?int?size,?int?&split,?data?&SplitChoice){??????/*compute?the?variance?on?every?dimension.?Set?split?as?the?dismension?that?have?the?biggest???variance.?Then?choose?the?instance?which?is?the?median?on?this?split?dimension.*/??????/*compute?variance?on?the?x,y?dimension.?DX=EX^2-(EX)^2*/??????double?tmp1,tmp2;??????tmp1?=?tmp2?=?0;??????for?(int?i?=?0;?i?<?size;?++i)??????{??????tmp1?+=?1.0?/?(double)size?*?exm_set[i].x?*?exm_set[i].x;??????tmp2?+=?1.0?/?(double)size?*?exm_set[i].x;??????}??????double?v1?=?tmp1?-?tmp2?*?tmp2;??//compute?variance?on?the?x?dimension??????tmp1?=?tmp2?=?0;??????for?(int?i?=?0;?i?<?size;?++i)??????{??????tmp1?+=?1.0?/?(double)size?*?exm_set[i].y?*?exm_set[i].y;??????tmp2?+=?1.0?/?(double)size?*?exm_set[i].y;??????}??????double?v2?=?tmp1?-?tmp2?*?tmp2;??//compute?variance?on?the?y?dimension??????split?=?v1?>?v2???0:1;?//set?the?split?dimension??????if?(split?==?0)??????{??????sort(exm_set,exm_set?+?size,?cmp1);??????}??????else{??????sort(exm_set,exm_set?+?size,?cmp2);??????}??????//set?the?split?point?value??????SplitChoice.x?=?exm_set[size?/?2].x;??????SplitChoice.y?=?exm_set[size?/?2].y;??????}??????Tnode*?build_kdtree(data?exm_set[],?int?size,?Tnode*?T){??????//call?function?ChooseSplit?to?choose?the?split?dimension?and?split?point??????if?(size?==?0){??????return?NULL;??????}??????else{??????int?split;??????data?dom_elt;??????ChooseSplit(exm_set,?size,?split,?dom_elt);??????data?exm_set_right?[100];??????data?exm_set_left?[100];??????int?sizeleft?,sizeright;??????sizeleft?=?sizeright?=?0;??????if?(split?==?0)??????{??????for?(int?i?=?0;?i?<?size;?++i)??????{??????if?(!equal(exm_set[i],dom_elt)?&&?exm_set[i].x?<=?dom_elt.x)??????{??????exm_set_left[sizeleft].x?=?exm_set[i].x;??????exm_set_left[sizeleft].y?=?exm_set[i].y;??????sizeleft++;??????}??????else?if?(!equal(exm_set[i],dom_elt)?&&?exm_set[i].x?>?dom_elt.x)??????{??????exm_set_right[sizeright].x?=?exm_set[i].x;??????exm_set_right[sizeright].y?=?exm_set[i].y;??????sizeright++;??????}??????}??????}??????else{??????for?(int?i?=?0;?i?<?size;?++i)??????{??????if?(!equal(exm_set[i],dom_elt)?&&?exm_set[i].y?<=?dom_elt.y)??????{??????exm_set_left[sizeleft].x?=?exm_set[i].x;??????exm_set_left[sizeleft].y?=?exm_set[i].y;??????sizeleft++;??????}??????else?if?(!equal(exm_set[i],dom_elt)?&&?exm_set[i].y?>?dom_elt.y)??????{??????exm_set_right[sizeright].x?=?exm_set[i].x;??????exm_set_right[sizeright].y?=?exm_set[i].y;??????sizeright++;??????}??????}??????}??????T?=?new?Tnode;??????T->dom_elt.x?=?dom_elt.x;??????T->dom_elt.y?=?dom_elt.y;??????T->split?=?split;??????T->left?=?build_kdtree(exm_set_left,?sizeleft,?T->left);??????T->right?=?build_kdtree(exm_set_right,?sizeright,?T->right);??????return?T;??????}?????? }??????double?Distance(data?a,?data?b){??????double?tmp?=?(a.x?-?b.x)?*?(a.x?-?b.x)?+?(a.y?-?b.y)?*?(a.y?-?b.y);??????return?sqrt(tmp);?????? }??????void?searchNearest(Tnode?*?Kd,?data?target,?data?&nearestpoint,?double?&?distance){??????//1.?如果Kd是空的，則設(shè)dist為無窮大返回??????//2.?向下搜索直到葉子結(jié)點(diǎn)??????stack<Tnode*>?search_path;??????Tnode*?pSearch?=?Kd;??????data?nearest;??????double?dist;??????while(pSearch?!=?NULL)??????{??????//pSearch加入到search_path中;??????search_path.push(pSearch);??????if?(pSearch->split?==?0)??????{??????if(target.x?<=?pSearch->dom_elt.x)?/*?如果小于就進(jìn)入左子樹?*/??????{??????pSearch?=?pSearch->left;??????}??????else??????{??????pSearch?=?pSearch->right;??????}??????}??????else{??????if(target.y?<=?pSearch->dom_elt.y)?/*?如果小于就進(jìn)入左子樹?*/??????{??????pSearch?=?pSearch->left;??????}??????else??????{??????pSearch?=?pSearch->right;??????}??????}??????}??????//取出search_path最后一個賦給nearest??????nearest.x?=?search_path.top()->dom_elt.x;??????nearest.y?=?search_path.top()->dom_elt.y;??????search_path.pop();??????dist?=?Distance(nearest,?target);??????//3.?回溯搜索路徑??????Tnode*?pBack;??????while(search_path.size()?!=?0)??????{??????//取出search_path最后一個結(jié)點(diǎn)賦給pBack??????pBack?=?search_path.top();??????search_path.pop();??????if(pBack->left?==?NULL?&&?pBack->right?==?NULL)?/*?如果pBack為葉子結(jié)點(diǎn)?*/??????{??????if(?Distance(nearest,?target)?>?Distance(pBack->dom_elt,?target)?)??????{??????nearest?=?pBack->dom_elt;??????dist?=?Distance(pBack->dom_elt,?target);??????}??????}??????else??????{??????int?s?=?pBack->split;??????if?(s?==?0)??????{??????if(?fabs(pBack->dom_elt.x?-?target.x)?<?dist)?/*?如果以target為中心的圓（球或超球），半徑為dist的圓與分割超平面相交，?那么就要跳到另一邊的子空間去搜索?*/??????{??????if(?Distance(nearest,?target)?>?Distance(pBack->dom_elt,?target)?)??????{??????nearest?=?pBack->dom_elt;??????dist?=?Distance(pBack->dom_elt,?target);??????}??????if(target.x?<=?pBack->dom_elt.x)?/*?如果target位于pBack的左子空間，那么就要跳到右子空間去搜索?*/??????pSearch?=?pBack->right;??????else??????pSearch?=?pBack->left;?/*?如果target位于pBack的右子空間，那么就要跳到左子空間去搜索?*/??????if(pSearch?!=?NULL)??????//pSearch加入到search_path中??????search_path.push(pSearch);??????}??????}??????else?{??????if(?fabs(pBack->dom_elt.y?-?target.y)?<?dist)?/*?如果以target為中心的圓（球或超球），半徑為dist的圓與分割超平面相交，?那么就要跳到另一邊的子空間去搜索?*/??????{??????if(?Distance(nearest,?target)?>?Distance(pBack->dom_elt,?target)?)??????{??????nearest?=?pBack->dom_elt;??????dist?=?Distance(pBack->dom_elt,?target);??????}??????if(target.y?<=?pBack->dom_elt.y)?/*?如果target位于pBack的左子空間，那么就要跳到右子空間去搜索?*/??????pSearch?=?pBack->right;??????else??????pSearch?=?pBack->left;?/*?如果target位于pBack的右子空間，那么就要跳到左子空間去搜索?*/??????if(pSearch?!=?NULL)??????//?pSearch加入到search_path中??????search_path.push(pSearch);??????}??????}??????}??????}??????nearestpoint.x?=?nearest.x;??????nearestpoint.y?=?nearest.y;??????distance?=?dist;??????}??????int?main(){??????data?exm_set[100];?//assume?the?max?training?set?size?is?100??????double?x,y;??????int?id?=?0;??????cout<<"Please?input?the?training?data?in?the?form?x?y.?One?instance?per?line.?Enter?-1?-1?to?stop."<<endl;??????while?(cin>>x>>y){??????if?(x?==?-1)??????{??????break;??????}??????else{??????exm_set[id].x?=?x;??????exm_set[id].y?=?y;??????id++;??????}??????}??????struct?Tnode?*?root?=?NULL;??????root?=?build_kdtree(exm_set,?id,?root);??????data?nearestpoint;??????double?distance;??????data?target;??????cout?<<"Enter?search?point"<<endl;??????while?(cin>>target.x>>target.y)??????{??????searchNearest(root,?target,?nearestpoint,?distance);??????cout<<"The?nearest?distance?is?"<<distance<<",and?the?nearest?point?is?"<<nearestpoint.x<<","<<nearestpoint.y<<endl;??????cout?<<"Enter?search?point"<<endl;??????}?????? }????

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參考

最近鄰算法的實(shí)現(xiàn):k-d tree -?http://blog.csdn.NET/zhl30041839/article/details/9277807

從K近鄰算法、距離度量談到KD樹、SIFT+BBF算法 -?http://blog.csdn.Net/v_july_v/article/details/8203674

Stanford CS106L assignment3 download

CMU?An intoductory tutorial on kd trees ?download

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的详解 KDTree（转）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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