4.9 行列均不滿秩方程

行列均不滿秩方程需綜合列滿秩方程和行滿秩矩陣結果，進行高斯約當消元法，最終矩陣變為單位矩陣、自由矩陣和零矩陣。例如方程

$$\begin{gathered} 2x+4y+6z=12 \\ 4x+9y+13z=36 \\ 6x+13y+19z=48 \end{gathered}$$

系數矩陣為
$$A=?\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 9& 13\\ 6& 13& 19\end{array}?$$
是行列均不滿秩矩陣。

方程有 $3$ 個未知數 $3$ 個方程。行列均不滿秩方程，如果存在解，則有無窮多解；否則無解。

增廣矩陣進行高斯消元法

$$?\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 12\\ 4& 9& 13& 36\\ 6& 13& 19& 48\end{array}???\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 12\\ 0& 1& 1& 12\\ 0& 1& 1& 12\end{array}???\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 12\\ 0& 1& 1& 12\\ 0& 0& 0& 0\end{array}?$$

方程變為
$$\begin{gathered} 2x+4y+6z=12 \\ y+z=12 \\ 0=0 \end{gathered}$$
注意此時最后一個方程變為 $0x+0y+0z=0$ ，是永遠成立的平凡方程！有效方程 $2$ 個，和上面行滿秩方程一樣，故結論和行滿秩方程一樣，有無窮多解。

如同列滿秩方程，如果第三個方程改變為 $6x+13y+19z=49$ ，則高斯消元后變為 $0x+0y+0z=1$ ，無解。

行列均不滿秩方程 $A_{mn}$，經過高斯消元法變換后最終為 $\left[\begin{array}{c}{U}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ ，$U_{rr}$ 是 $r$ 階上三角陣，其對角元素是矩陣 $A$ 的主元且均不為零，$F$ 是自由矩陣。為什么呢？假設沒有列對調操作，一般要兩階段操作，要先變換為 $\left[\begin{array}{c}{U}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},F_{r,n?r}^{\prime }\end{array}\right]$ 。

總結如下，行列均不滿秩方程 $A_{mn}$，高斯消元法變換為 $\left[\begin{array}{c}{U}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ ，$U_{rr}$ 是 $r$ 階上三角陣，其對角元素是矩陣 $A$ 的主元且均不為零，$F$ 是自由矩陣。矩陣乘法表示，即對任意行列均不滿秩矩陣 $A_{mn}$ ，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{U}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 成立，進一步對 $U_{rr}$ 進行高斯約當消元，則可表示為，存在可逆矩陣 $P,Q$ ，使 $PAQ=\left[\begin{array}{c}{E}_{rr},F_{r,n?r}\\ {\mathbf{O}}_{m?r,r},{\mathbf{O}}_{r,n?r}\end{array}\right]$ 成立。

向量 $\mathbf{b}$ ，如果 $P\mathbf{b}Q=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}^{\prime }\\ 0\end{array}\right]$ ，即后 $m?r$ 個分量都為 $0$ ，則方程 $A_{mn}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有無窮多解；只要后 $m?n$ 個分量有一個不為 $0$ ，則方程無解。

前面章節介紹了，行列均不滿秩矩陣的行向量組是相關組，列向量組也是相關組，利用高斯消元法可以找到對應的極大無關組，即變換后的矩陣 $U_{rr}$ 對應到矩陣 $A$ 的列向量即是列向量組的極大無關組，對應到矩陣 $A$ 的行向量即是行向量組的極大無關組。

總結

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