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4.3 高斯消元法

發布時間：2023/12/20 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 4.3 高斯消元法小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

4.3 高斯消元法

當可逆矩陣 $P^{-1}$ 取單位下三角矩陣 $L$ 時，即矩陣對角線元素均為 $1$ ，得矩陣的 $L U$ 分解。

重要性質 矩陣 $L U$ 分解矩陣 $A$ 分解為單位下三角矩陣和上三角矩陣的乘積 $A = L U$ 。

此時方程 $Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf$ 變為

$L(Ux)=by＝UxLy=bL(U\mathbf{x})=\mathbf\\ \mathbf{y}＝U\mathbf{x} \\ L\mathbf{y}=\mathbf$
即先解單位下三角方程 $Ly=bL\mathbf{y}=\mathbf$ 得到 $y\mathbf{y}$ ，再解上三角方程 $y＝Ux\mathbf{y}＝U\mathbf{x}$ 得到 $x\mathbf{x}$ ，原方程等價于解兩個簡單的三角方程。公式表示為 $x=U?1L?1b\mathbf{x} = U^{-1}L^{-1}\mathbf$ ，由于三角矩陣很容易計算逆矩陣，故只要得到矩陣的 $L U$ 分解，就可快速求得解。三角方程解存在且唯一的條件是三角陣對角線元素均不等于 $0$ ，則矩陣 $A$ 可逆條件是矩陣 $U$ 的對角線元素均不等于 $0$ ，且 $A^{-1}=U^{-1}L^{-1}$ 。

如何得到矩陣的 $L U$ 分解呢？根據矩陣乘法第 $4$ 種計算方式，采用待定系數法可計算兩個三角矩陣的元素。先計算上三角矩陣第 $1$ 行元素，然后是單位下三角矩陣第 $1$ 列元素；接著計算上三角矩陣第 $2$ 行元素，然后是單位下三角矩陣第 $2$ 列元素；依次類推即可。這個計算方法是計算機友好的，方便程序實現，效率也更高，但不是人類友好的，不直觀。本書不打算推導該公式，讀者可自行推導或查找網絡資料。

我們介紹更直觀的高斯消元法進行矩陣 $L U$ 分解，以 $3$ 元一次方程為例介紹。例如方程為
$\cdots 1 \\ 4x + 9y - 3z = 8 \cdots 2 \\ -2x - 3y + 7z = 10 \cdots 3$

$A=[24?249?3?2?37]b=[2810]A=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2\\ 4 & 9 & -3\\ -2 & -3 & 7 \end{matrix} \right] \mathbf=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 8 \\ 10 \end{matrix} \right]$

我們目的是解不變的前提下，矩陣 $A$ 變換成上三角陣。理論基礎是：任意方程乘以不為零的數，加到任意方程后，解不變。通過合理選擇數值，每次使矩陣左下角某個元素變為 $0$ 。具體為，方程 $1$ 乘以 $? 2$ 加到方程 $2$ ，方程 $2$ 變為 $(2*(-2)+4)x + (4*(-2)+9)y + (-2*(-2)+(-3))z = 2*(-2)+8, 0x + y + z = 4 $ 。方程 $1$ 乘以 $1$ 加到方程 $3$ ，方程 $3$ 變為 $(2*(1)+(-2))x + (4*(1)+(-3))y + (-2*(1)+7)z = 2*(1)+10, 0x + y + 5z = 12 $ 。方程變為，
$\cdots 1 \\ 0x + y + z = 4 \cdots 2 \\ 0x + y + 5z = 12 \cdots 3$
方程系數第一列下面均為 $0$ 。

方程 $2$ 乘以 $? 1$ 加到方程 $3$ ，方程 $3$ 變為 $(1 ? (? 1) + 1) y + (1 ? (?) + 5 z = 4 ? (? 1) + 12, 0 x + 0 y + 4 z = 8$ 。方程變為，
$\cdots 1 \\ 0x + y + z = 4 \cdots 2 \\ 0x + 0y + 4z = 8 \cdots 3$
$U=[24?2011004]U=\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right]$

解為 $x = ? 1, y = 2, z = 2$ 。

上面操作過程中，變量 $x, y, z$ 實際上并沒有參與運算，故為了簡潔，可以省略。向量 $b\mathbf$ 和矩陣 $A$ 列向量進行相同的操作，故可把兩者合并為一個矩陣，稱為增廣矩陣。
定義增廣矩陣方程 $Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf$ 的矩陣 $A$ 列向量組和向量 $b\mathbf$ 合并成的矩陣 $[A, b]$ 。

上面方程的增廣矩陣為
$\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & -2 & 2\\ 4 & 9 & -3 & 8\\ -2 & -3 & 7 & 10 \end{matrix} \right]$
消元操作可直接在增廣矩陣上進行，更簡潔方便。

對于 $n$ 階矩陣，第一階段：第一次操作，方程 $1$ 乘以 $a_{21}/a_{11}$ ，加到方程 $2$ ，使 $a_{21}$ 為 $0$ ；第二次操作，方程 $1$ 乘以 $a_{31}/a_{11}$ ，加到方程 $3$ ，使 $a_{31}$ 為 $0$ ；依次類推，第 $i ? 1$ 次操作，方程 $1$ 乘以 $a_{i1}/a_{11}$ ，加到方程 $i$ ，使 $a_{i1}$ 為 $0$ ，直到 $n ? 1$ 次操作，使矩陣第一列對角線下方均為 $0$ 。

第二階段：第一次操作，方程 $2$ 乘以 $a_{32}/a_{22}$ ，加到方程 $3$ ，使 $a_{32}$ 為 $0$ ；第二次操作，方程 $2$ 乘以 $a_{42}/a_{22}$ ，加到方程 $4$ ，使 $a_{42}$ 為 $0$ ；依次類推，第 $i ? 2$ 次操作，方程 $2$ 乘以 $a_{i2}/a_{22}$ ，加到方程 $i$ ，使 $a_{i2}$ 為 $0$ ，直到 $n ? 2$ 次操作，使矩陣第 $2$ 列對角線下方元素均為 $0$ 。注意，此時 $a_{ij}$ 的值不是原始值，是第一階段操作后矩陣的值。

以此類推，第 $j$ 階段：第一次操作，方程 $j$ 乘以 $a_{j+1,j}/a_{jj}$ ，加到方程 $j + 1$ ，使 $a_{j+1,j}$ 為 $0$ ；第二次操作，方程 $j$ 乘以 $a_{j+2,j}/a_{jj}$ ，加到方程 $j + 2$ ，使 $a_{j+2,j}$ 為 $0$ ；依次類推，直到 $n ? j$ 次操作，使矩陣第 $j$ 列對角線下方元素均為 $0$ 。

一直進行到第 $n ? 1$ 階段，則矩陣 $A$ 變換為上三角陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的4.3 高斯消元法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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