四類(lèi)向量組

向量組相關(guān)性決定表示向量的唯一性，無(wú)關(guān)組表示必唯一，相關(guān)組表示必?zé)o窮。代數(shù)上，根據(jù) $0$ 向量是否被全0表示，如果只有全0表示則無(wú)關(guān)，否則相關(guān)。幾何上，無(wú)關(guān)組是張成子空間的基，向量數(shù)量多于張成子空間維度時(shí)，是相關(guān)組。任意維度空間中，0維子空間是原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的任意直線是1維子空間，過(guò)原點(diǎn)的任意平面是2維子空間，等等。子空間一定要過(guò)原點(diǎn)，整個(gè)空間是個(gè)特殊子空間。

向量組是否為基決定表示的存在性；如果是基，則必存在表示；如果不是，則當(dāng)被表示向量位于向量組張成子空間內(nèi)時(shí)，存在表示，否則不存在。

$m$ 維空間中任意向量用向量組表示，根據(jù)表示的存在性和唯一性，可以分為四類(lèi)。第一類(lèi)：一定存在且唯一，向量組有 $m$ 個(gè)向量且無(wú)關(guān)，是基；第二類(lèi)：一定存在且不唯一，向量組有 $n>m$ 個(gè)向量，極大無(wú)關(guān)組是基；第三類(lèi)：不一定存在，但如果存在則唯一，向量組有 $n<m$ 個(gè)向量，是無(wú)關(guān)組，向量位于向量組張成子空間內(nèi)時(shí)能被表示；第四類(lèi)：不一定存在，但如果存在則不唯一，向量組是相關(guān)組，極大無(wú)關(guān)組不是基，可包含任意數(shù)量的向量，向量位于向量組張成子空間內(nèi)時(shí)能被表示。

重要性質(zhì) 據(jù)此向量組分為對(duì)應(yīng)四類(lèi)：基，極大無(wú)關(guān)組是基，基的真子集，極大無(wú)關(guān)組是基的真子集。

可見(jiàn)基和極大無(wú)關(guān)組的極其重要性，理解了它們就理解了向量組的所有內(nèi)容。

這四種情況是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，線性方程據(jù)此分為四類(lèi)，本書(shū)按此進(jìn)行線性方程求解，所以希望讀者務(wù)必建立二維三維空間對(duì)應(yīng)的幾何圖像，做到滾瓜爛熟。這里不厭其煩地再次描述下。

首先描述二維空間。第一類(lèi)，向量組僅包含兩個(gè)任意不共線的向量；第二類(lèi)，向量組不僅包含兩個(gè)任意不共線的向量，還必須包含其它任意數(shù)量的向量；第三類(lèi)，向量組僅包含一個(gè)的向量，只能唯一表示該向量方向上的任意向量；第四類(lèi)，向量組僅包含一條直線上的向量，但數(shù)量必須多于一個(gè)，則能無(wú)窮多表示該直線上的任意向量。

其次描述三維空間。第一類(lèi)，向量組僅包含三個(gè)任意不共面的向量；第二類(lèi)，向量組不僅包含三個(gè)任意不共面的向量，還必須包含其它任意數(shù)量的向量；第三類(lèi)，向量組僅能包含少于三個(gè)的向量，如果只有一個(gè)向量，則只能唯一表示該向量方向上的任意向量，如果只有兩個(gè)向量，則兩個(gè)向量一定不共線，只能唯一表示兩個(gè)向量構(gòu)成平面內(nèi)的任意向量；第四類(lèi)，向量組可包含任意數(shù)量多于一個(gè)的向量，但這些向量不能構(gòu)成基，即是這些向量要么位于一條直線上，則能無(wú)窮多表示該直線上的任意向量，要么位于平面內(nèi)，則能無(wú)窮多表示該平面內(nèi)的任意向量。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的1.12 四类向量组的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。