矩陣

基本概念

一個 $ n \times m $ 的矩陣是 $ n $ 行 $ m $ 列的舉行整列,一般由數組成,下面是一個 $ 2 \times 3 $ 的矩陣. \[ \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{pmatrix} \]
單位矩陣 \[ I = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots &\vdots\\ 0 & \cdots &1\end{pmatrix} \] ,也就是對角線上為1,其他都為0的矩陣.

基本運算

矩陣加法
每行每列各個數各自相加

矩陣乘法
設 $ A $ 是 $ n \times m $ 的矩陣, $ B $ 是 $ m \times p $ 的矩陣,他們的乘積 $ C $ 是一個 $ n \times m $ 的矩陣, 其中
\[ C_{i,j} = \sum_{k=1}^{m}A_{i,k} \times B_{k,j} \]

矩陣的冪
\[ A^0=I \]
\[ A^n=A^{n-1} \times A(n > 0) \]

矩陣的轉置
$ n \times m $ 的矩陣 $ A $ 的轉置 $ A^T $ 是個 $ m \times n $ 的矩陣, 可以通過 $ A $ 交換行列得到.

矩陣的逆
只有 $ n \times n $ 的可能存在逆, 矩陣 $ A $ 的逆 $ B $ 滿足
\[ A \times B = B \times A = I \]
如果 $ B $ 存在,則 $ B $ 是唯一的,一般記做 $ A^{-1} $

性質

矩陣懲罰滿足分配率,結合律,不一定滿足交換律

矩陣假發滿足交換律和結合率

算法

矩陣滿足結合律,所以在求矩陣的冪的時候可以使用快速冪加速

行列式

基本概念

行列式是一個定義域為 $ n \times n $ 的矩陣, 值域為一個標量的函數, 通常記為 $ det(A) $

行列式也可以表示為 $ n $ 維廣義歐幾里得空間中的有向體積.

一個 $ n \times n $ 的行列式定義為 \[ det(A) = \sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{n(\sigma)}\prod_{i=1}^na_{i,\sigma(i)} \]
其中 $ S_n $ 表示集合 $ {1,2,3 \cdots, n} $ 上置換的全體, $ n(\sigma) $ 是對一個置換中逆序對的個數,逆序對的定義為滿足 $ 1 \le i < j \le n $ 且 $ \sigma(i) > \sigma(j) $ 的 $ (i,j) $

性質

若矩陣中一行或者一列為0,那么該行列式的值為0

若矩陣中有一行有公因子k, 那么可以提出k, 使得 $ D=kD_1 $

若矩陣中有一行可以拆分成兩個數之和,那么該行列式可以拆分成兩個行列式相加(剩余的行和列不發生改變)

交換矩陣的兩行,行列式取反

將一行的 $ k $ 倍加到另一行上,行列式不變

轉置,行列式不變

有上述性質可以得到,如果該矩陣是上三角或者下三角矩陣時,行列式的值等于對角線的乘積

解線性方程組

基本概念

解線性方程組即求解方程組
\[ \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n = b_m\end{cases} \]
也可以表示為 $ Ax = B $ , 其中 $ A $ 是 $ m \times n $ 的矩陣, $ x $ 是 $ n $ 維列向量, $ b $ 是 $ m $ 維列向量, 即
\[ \begin{pmatrix} a_{1,1} &\cdots &a_{1,n} \\ \vdots& \ddots &\vdots \\ a_{m,1} &\cdots &a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \]

算法

高斯消元(Gaussian elimination)

矩陣的初等變換:

互換矩陣兩行(列),用非零常熟乘某一行(列),某行(列)的 $ k $ 倍加到矩陣的另一行(列)(避免精度損失)

則上述方程組可以用一個增光矩陣表示.
\[ \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} & b_m \\ \end{pmatrix} \]
于是我們只要進行初等變換使得上述矩陣稱為上三角矩陣就行了.

克萊姆法則(Cramer rule)

當 $ A $ 為 $ n \times n $ 的矩陣時,可用Cramer rule進行求解, 方程的解為:
\[ x_i = \frac{D_i}{D} \]
其中 $ D $ 是 $ A $ 的行列式, $ D_i $ 是將 $ A $ 中第 $ i $ 列替換成 $ b $ 后得到的矩陣的行列式.
例如上述列子中,求解 $ x_2 $ , 已知: \[ D = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = -1, D\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 6 & 3 \end{pmatrix} = -3 \]
立刻就可以得到: \[ x_2 = \frac{D_2}{D} = 3 \]

用途

求解可逆矩陣的逆矩陣:

對于一個 $ n \times n $ 的非奇異矩陣, 在矩陣右側補上一個 $ n \times n $ 的單位矩陣, 對于這個 $ n \times (2n) $ 的矩陣進行高斯消元, 使得這個矩陣左側變成一個 $ n \times n $ 的單位矩陣.這是右側的 $ n \times n $ 的矩陣就是原矩陣的逆矩陣

同模方程組也可使用高斯消元, 在除法時用乘逆元代替. 偶遇只有在模素數時, 非零數的逆元才唯一, 所以, 素數模才能保證有唯一解

求解行列式的值.消成上三角矩陣就OK.

Expand

由于在消元過程中需要用到除法, 所以會有浮點運算精度問題, 不同的消元順序可能會導致較大的差異, 推薦使用絕對值較大的主元進行消元, 能達到比較好的效果

可以使用輾轉相除法進行消元,這樣做可以保證稀疏為整數.

多項式

基本概念

給定一個數域 $ R $ , 變量 $ x $ , 一元多項式的形式是:
\[ f(x) = \sum_{i=0}^na_ix^i \]
其中 $ a_i \in R $ , 并且 $ a_n \not= 0 $

多項式中次數最高的項稱為首項,首項的系數等于1的多項式稱作首一多項式

多項式加法: 對應次數系數做加法.例如:
\[ f(x) + g(x) = \sum_{i=0}^n(a_i + b_i)x^i \]
多項式乘法: 兩個多項式的每一項都相乘, 例如:
\[ f(x) \bullet g(x) = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_ib_jx^{i+j} \]

性質

$ (1 + x)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^i $

$ n $ 個點可以唯一確定一個 $ n $ 次多項式

一個 $ n $ 次多項式有 $ n $ 個負數根

算法

用牛頓迭代法求解方程的根

選擇一個靠近多項式 $ f(x) $ 零點的點 $ x_0 $ 作為迭代初值, 計算 $ f(x_0) $ 和 $ \mathop{{f}'}(x_0) $ , 解方程:
\[ x \cdot \mathop{{f}'}(x_0) + f(x_0) - x_0 \cdot \mathop{{f}'}(x_0) = 0 \] 得到解 $ x_1 $ 如此反復迭代,就可以求出多項式的一個根.

復數

基本概念

復數是由實部和虛部組成的數,通常有兩種表示方法, $ z=a+bi $ , $ a $ 和 $ b $ 都是實數, $ i $ 是虛單位根,滿足 $ i^2=-1 $ , $ |z|=sqrt(x^2+y^2) $ 表示復數的模長.復數也可以表示為 $ z = Re^{i\varphi}=R(cos(\varphi)+isin(\varphi)) $ , 其中 $ R=|z| $ , $ e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi) $

復數的運算滿足結合律,分配率和交換率
復數可以表示為實數平面上的一個向量, 復數的乘法可以理解為兩個向量的角度相加,模長相乘, 因此用復數的乘法處理向量的旋轉非常的方便.具體來說,如果一個向量 $ (x,y) $ 旋轉 $ \varphi $ , 可以視為兩個復數, $ x+yi $ 乘以 $ cos(\varphi) + sin(\varphi)i $ ,等于 $ xcos(\varphi) + ysin(\varphi) + (ycos(\varphi) + xsin(\varphi))i $

群

基本概念

群

在數學中,群是一種代數結構, 由一個集合 $ S $ 與一個二元運算 $ \cdot $ 組成, 要成為群, 還要滿足一些條件, 這些條件被稱為"群公理", 即封閉性,結合律,單位元和逆元

封閉性即 $ \forall a,b \in S, a \cdot b \in S $

結合律即 $ \forall a,b,c \in S, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

單位元即有一個元素 $ e $ , $ \forall a \in S, e \cdot a = a \cdot e = a $ (在群 $ G $ 中,常用1表示單位元)

逆元即 $ \forall a \in S, \exists b \in S, a \cdot b = b \cdot a = e $ , 記 $ b = a^{-1} $

值得注意的是, 二元運算符 $ \cdot $ 僅表示抽象的運算符號, 在不同的群中解釋不同. 在不引起歧義的地方常將其省略.

例如: 整數加法群 $ (Z,+,0) $ , 是由整數 $ Z $ 和整數加法運算+組成的.其單元元是 $ 0 $ , 封閉性: $ \forall a, b \in Z, a + b \in Z $ ; 結合律: $ \forall a,b,c \in Z, (a + b) + c = a + (b + c) $ , 逆元: $ \forall a \in Z, a^{-1} = -a $

子群

設 $ G $ 是群, $ \oslash \not= H \subseteqq G $ , 若 $ H $ 具有封閉性,單位元,逆元,則 $ H $ 是 $ G $ 的一個子群. 作為群公理之一的結合律, 因為 $ H $ 繼承了 $ G $ 的運算,所以自然成立,因此,子群也是群.(例如 $ (bZ,+,0) $ 就是 $ (Z,+,0) $ 的子群)

元素的價

在群 $ G $ 中,定義元素 $ g $ 的價 $ o(g) $ , 為使 $ g^n=1_G $ 成立的最小自然數 $ n $ ; 如果此自然數不存在, 則記做 $ o(g) = \infty $ .

循環群

設 $ g $ 是群 $ G $ 中一個取定的元素, 若群 $ G $ 的任意一個元素 $ a $ 可以寫成 $ a = g^n, n \in Z $ 的形式, 則稱 $ G $ 循環群,稱 $ g $ 為群 $ G $ 的一個生成元, 可寫成 $ G = < g > $

交換群

具有交換性的群稱為交換群. 交換性: $ \forall a, b \in G, ab = ba $
整數加法群是交換群,因為整數加法滿足交換律, 一般線性群 $ GL(n) $ 由所有 $ n \times n $ 的可逆矩陣和矩陣乘法組成, 它不是交換群, 因為矩陣乘法不滿足交換律.

置換群

設 $ A $ 是一個非空集合, $ A^A $ 是 $ A $ 到 $ A $ 上的所有的置換的集合, 在 $ A^A $ 上的所有的置換的集合,在 $ A^A $ 上定義二元運算符為映射的復合, 因為映射的符合滿足結合律, 記 $ S $ 為 $ A $ 上所有可逆映射的集合, 則 $ S $ 關于映射的復合構成群.

當 $ A $ 是有限集合時, 可設 $ A = {1,2, \cdots, n} $ , 則 $ A $ 上的可逆變換可表示為 \[ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\i_1 & i_2 & \cdots & i_{n-1} & i_n \end{pmatrix} \]
其中 $ i_1,i_2,\cdots $ 是一個 $ n $ -的排列, $ i_j $ 表示將 $ j $ 位置上的元素換到了 $ i_j $ 位置.這樣一個變換稱作 $ n $ 次置換, 形成的群稱作 $ n $ 次置換群. 所有的 $ n $ 次置換形成的群記做 $ S_n $ ,例如 $ S_3=\left{ \begin{pmatrix} 1&2&3 \1 &2 &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \1 &3 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \2 &1 &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \2 &3 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \3 &1 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&3 \3 &2 &1 \end{pmatrix} \right} $

還有一種表示置換的方法,若 $ (i_1,i_2,\cdots,i_k) $ 滿足 $ f(i_j)=i_{j+1} $ , 則稱 $ (i_1,i_2,\cdots,i_k) $ 為一個循環節, 顯然, 一個置換可以拆成若干個循環節,所以可以將置換用循環節表示.
例如 $ S_3 $ 在這種情況下可以表示為 $ S_3={(1)(2)(3),(1)(2,3),(1,2)(3),(1,2,3),(1,3,2),(1,3)(2)} $

群作用

設 $ G $ 為群, $ S $ 為集合,考慮一個映射.
\[ G \times S \to S \]

\[ (g,x) \longmapsto g \circ x \]
若此映射滿足:

(a) $ 1_G \circ x = x, \forall x \in S $

(b) $ (gh) \circ x = g \circ (h \circ x), \forall x \in S, \forall g, h \in G $

則成映射 $ \circ $ 是 $ G $ 上的一個群作用

$ S_3 $ 在 $ T = {a,b,c} $ 上有群作用 $ \circ $ :
\[ S_3 \times T \to T \]

\[ (f,t) \longmapsto f \circ t = f(t) \]

例如對于 $ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $ , $ f \circ a=f(a)=b, f \circ b = f(b) = c, f \circ c = f(c) = a $

其他的內容

群作用相關

轉載于:https://www.cnblogs.com/Alessandro/p/9657366.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学基础-线性代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。