通常來(lái)說(shuō)從決策數(shù)量上來(lái)優(yōu)化Dp有以下幾種方法：

斜率優(yōu)化

用于優(yōu)化帶多項(xiàng)式的乘積項(xiàng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，即f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2} 這樣的，

我們把他展開(kāi)可以得到f[i]=min/max{f[j]+x[i]^2+x[j]^2-2*x[i]*x[j]}?

根據(jù)動(dòng)規(guī)方程狀態(tài)i從狀態(tài)j轉(zhuǎn)化而來(lái)，

我們可以化成類(lèi)似f[i]=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])+(i+…)的形式?

其中藍(lán)色部分只與j有關(guān)，紅色部分與i，j有關(guān)，綠色部分只與i或常數(shù)有關(guān)?

我們可以固定i，故變形為?

f[i]-i-…=(f[j]+…)+(-i*f[i-1]*f[j])?

考慮幾何意義，?

令藍(lán)色部分為y，紅色部分中的i部分為導(dǎo)數(shù)k，紅色部分中j部分為x，綠色部分只是常數(shù)，在幾何意義上只是截距，與單調(diào)性無(wú)關(guān)，可以設(shè)為B?

故得y=kx-B?

這樣就可以利用線(xiàn)性規(guī)劃來(lái)做了，

容易發(fā)現(xiàn)無(wú)論一次函數(shù)的斜率怎么變，截距最小時(shí)取的點(diǎn)一定是那所有點(diǎn)求出的下凸殼上的某一個(gè)點(diǎn)。 因此我們只要每次在上邊尋找最優(yōu)解，然后加點(diǎn)時(shí)維護(hù)這個(gè)下凸殼即可。 根據(jù)斜率和(x,y)的單調(diào)性不同有不同的維護(hù)方法。

四邊形不等式優(yōu)化

下面我們通過(guò)四邊形不等式來(lái)優(yōu)化上述方程，首先介紹什么是”區(qū)間包含的單調(diào)性“和”四邊形不等式“

（1）區(qū)間包含的單調(diào)性：如果對(duì)于i≤i'<j≤j'，有w(i',j)≤w(i,j')，那么說(shuō)明w具有區(qū)間包含的單調(diào)性。（可以形象理解為如果小區(qū)間包含于大區(qū)間中，那么小區(qū)間的w值不超過(guò)大區(qū)間的w值）

（2）四邊形不等式：如果對(duì)于i≤i'<j≤j'，有w(i,j)+w(i',j')≤w(i',j)+w(i,j')，我們稱(chēng)函數(shù)w滿(mǎn)足四邊形不等式。（可以形象理解為兩個(gè)交錯(cuò)區(qū)間的w的和不超過(guò)小區(qū)間與大區(qū)間的w的和）

下面給出兩個(gè)定理

定理一：如果上述的w函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足區(qū)間包含單調(diào)性和四邊形不等式性質(zhì)，那么函數(shù)m也滿(mǎn)足四邊形不等式性質(zhì)。

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我們?cè)俣xs(i,j)表示m(i,j)取得最優(yōu)值時(shí)對(duì)應(yīng)的下標(biāo)（即i≤k≤j時(shí)，k處的w值最大，則s(i,j)=k）。此時(shí)有如下定理

定理二：假如m(i,j)滿(mǎn)足四邊形不等式，那么s(i,j)單調(diào)，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

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好了，有了上述的兩個(gè)定理后，我們發(fā)現(xiàn)如果w函數(shù)滿(mǎn)足區(qū)間包含單調(diào)性和四邊形不等式性質(zhì)，那么有s(i,j-1)≤s(i,j)≤s(i+1,j)。即原來(lái)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以改寫(xiě)為下式：

m(i,j)=min{m(i,k-1),m(k,j)}+w(i,j)(s(i,j-1)≤k≤s(i+1,j))（min也可以改為max）

由于這個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程枚舉的是區(qū)間長(zhǎng)度L=j-i，而s(i,j-1)和s(i+1,j)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)-1，是之間已經(jīng)計(jì)算過(guò)的，可以直接調(diào)用。不僅如此，區(qū)間的長(zhǎng)度最多有n個(gè)，對(duì)于固定的長(zhǎng)度L，不同的狀態(tài)也有n個(gè)，故時(shí)間復(fù)雜度為O(N^2)，而原來(lái)的時(shí)間復(fù)雜度為O(N^3)，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化！今后只需要根據(jù)方程的形式以及w函數(shù)是否滿(mǎn)足兩條性質(zhì)即可考慮使用四邊形不等式來(lái)優(yōu)化了。

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總結(jié)

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