常規分析（如果對下面的分析感覺比較迷惑的，可以看看下面這個分析http://blog.csdn.net/wind__fantasy/article/details/5398358）

首先，我們設f（n）=序列個數為n的出棧序列種數。同時，我們假定，從開始到棧第一次出到空為止，這段過程中第一個出棧的序數是k。特別地，如果棧直到整個過程結束時才空，則k=n

首次出空之前第一個出棧的序數k將1~n的序列分成兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數為k-1，另外一個是k+1~n，序列個數是n-k。

此時，我們若把k視為確定一個序數，那么根據乘法原理，f（n）的問題就等價于——序列個數為k-1的出棧序列種數乘以序列個數為n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以選1到n，所以再根據加法原理，將k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數為：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。

看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。

最后，令f（0）=1，f（1）=1。

非常規分析（比較容易理解）

對于每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進制數。由于等待入棧的操作數按照1‥n的順序排列、入棧的操作數b大于等于出棧的操作數a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進制數，1的累計數不小于0的累計數的方案種數。

在2n位二進制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其余n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大于1的累計數）的方案數即為所求。

不符合要求的數的特征是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此后的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把后面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應于一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。

反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由于0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在后面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。

因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。

顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n+1)。

轉載于:https://www.cnblogs.com/cquljw/archive/2013/03/09/2951579.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（学习日记）关于a1,a2,a3,...,an共n个元素依次入栈其可能出栈的排列数的计算（catalan数）...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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