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轉(zhuǎn)載自：Frobenius范數(shù) 跡運(yùn)算

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設(shè)A是$m\times n$的矩陣，其Frobenius范數(shù)定義為：
$${\parallel A\parallel }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\mid a_{ij}\mid }^2}$$

跡運(yùn)算返回的是矩陣對(duì)角元素的和：
$$Tr(A)=\sum _i{A}_{i,i}$$

跡運(yùn)算提供了另一種描述矩陣Frobenius范數(shù)的方式：
$${\parallel A\parallel }_F=\sqrt{Tr(A{A}^T)}$$
證明：
$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]A{A}^T=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}^2+a_{12}^2& ......\\ ......& a_{21}^2+a_{22}^2\end{array}\right]$$

$${\parallel A\parallel }_F=\sqrt{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2}=\sqrt{Tr(A{A}^T)}$$

$Tr(A)=Tr(A^T)$

$Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习笔记(part1)--Frobenius范数与迹运算的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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