學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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文章目錄

• • 隨機變量及其分布函數
  • • 分布函數與分布密度
    • 反函數及分位數
    • • 定義1.1
      • 性質
      • 定理1.1.1
    • 特征函數與數字特征
    • • 定義1.2
      • 定義1.3(累積量)
      • 性質1.1
      • 其他數字特征
    • 經驗分布函數

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隨機變量及其分布函數

分布函數與分布密度

設$X\in R$為一元隨機變量，其分布函數為：
$$F(x)=P(X\le x)$$
若存在密度函數$f(x)$，使得$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt,F^{\prime }(x)=f(x)$，則稱$F(x)$為絕對連續型且$P(X\in A)={\int }_{A}f(t)dt$

引入示性函數$I(A)$，若事件A發生，則$I(A)=1$；若事件A不發生，則$I(A)=0$，于是，$F(x)=E(I(X\le x))$

反函數及分位數

定義1.1

設分布函數$F(x)$的p分位數或p分位點，定義為：
$$x_p=inf\{x:F(x)\ge p\}$$
注：這樣定義的分位點實際為下側p分位點.

性質

• $x^{\prime }<x_p?F(x^{\prime })<p$；
• $x^{\prime }\ge x_p?F(x^{\prime })\ge p$；
• $F(x_p?0)\le x_p\le F(x_p)$

定理1.1.1

• 函數$g(c)=E|X?c|$在中位數$c=x_{0.5}$時取最小值；

• 當$g(X)=E(Y|X)$時，$E[(Y?g(X){)}^2]$取最小值；

證明：

其中，$E[(Y?E(Y|X))?(E(Y|X)?g(X))]=0$

于是：

特征函數與數字特征

定義1.2

$X$的矩生成函數：
$$M(t)=E(e^{tX})$$

$X$的特征函數：
$$\phi (t)=E(e^{itX})$$

其中，$i^2=?1$

常用的性質：

• $M^{(k)}(0)=E(X^k)?a_k$

• ${\phi }^{(k)}(0)=i^{k}E(X^k)\to E(X^k)=\frac{{\phi }^{(k)}(0)}{i^k}$

• $M(t)=1+{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\frac{t^k}{k!}$

• $\phi (t)=1+{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\frac{(it{)}^k}{k!}$

• 隨機向量$X=(X_1,X_2,?,X_n{)}^T$，其分量相互獨立的充要條件為${\phi }_X(t)={\phi }_{X_1}(t_1){\phi }_{X_2}(t_2)?{\phi }_{X_n}(t_n)$，其中$t=(t_1,t_2,?,t_n{)}^T,{\phi }_X(t)=E(e^{i{t}^{\prime }X})$

定義1.3(累積量)

$log(\phi (t))$的Taylor展開式的系數稱為累積量，其中$\phi (t)$為變量X的特征函數，若:
$$log(\phi (t))=\sum _{r=1}^{\infty }{K}_r\frac{(it{)}^r}{r!}$$

其中系數$K_r$稱為$r$階累積量或半不變量.

性質1.1

其他數字特征

• 三階中心距：${\alpha }_3=E(X?EX{)}^3$；
• 四階中心距：${\alpha }_4=E(X?EX{)}^4$；
• 偏度系數：${\gamma }_1=E(\frac{X?\mu }{\sigma }{)}^3=\frac{{\alpha }_3}{{\sigma }^3}$；
• 峰度系數：${\gamma }_2=E(\frac{X?\mu }{\sigma }{)}^4?3=\frac{{\alpha }_4}{{\sigma }^4}?3$；

與條件期望有關的公式：

經驗分布函數

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数理统计(part1)--随机变量及其分布函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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