學習筆記

學習書目：《算法圖解》- Aditya Bhargava

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文章目錄

• • • 教室調度問題
    • 集合覆蓋問題
    • 近似算法
    • • 代碼實現
    • NP完全問題

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教室調度問題

假如我是一個學校的校長，我們學校有如下課程表：

課程開始時間結束時間

多元統計分析	9:00AM	10:00AM
時間序列分析	9:30AM	10:30AM
計量經濟學	10:00AM	11:00AM
數據挖掘	10:30AM	11:30AM
統計實驗	11:00AM	12:00PM

我設法讓這些課程都在安排在教室A001上，但是因為有些課上課時間有沖突，所以我們只能盡可多的安排課程在這間教室上。

我們的具體做法如下：

(1) 選出結束最早的課，它就是要在這間教室上的第一堂課。

(2) 接下來，必須選擇第一堂課結束后才開始的課。同樣，你選擇結束最早的課，這將是要在這間教室上的第二堂課。

重復的步驟就能找到正確答案！

由此，在教室A001會上下面3堂課：

課程開始時間結束時間

多元統計分析	9:00AM	10:00AM
計量經濟學	10:00AM	11:00AM
統計實驗	11:00AM	12:00PM

小伙伴們可能覺得這個算法比較簡單，太顯而易見了！但這正是貪婪算法的優點—簡單易行！貪婪算法很簡單：每步都采取最優的做法。在這個示例中，我們每次都選擇結束最早的課。用專業術語說，就是每步都選擇局部最優解，最終得到的就是全局最優解。

顯然，貪婪算法并非在任何情況下都行之有效，但它易于實現。

集合覆蓋問題

假設我要在Z國辦一個廣播節目，我想讓Z國的12個城市都聽到我的節目。為此，我需要決定在哪些廣播臺播出，在每個廣播臺播出都需要支付一定的費用(假設每個電臺費用一樣)，因此，我力圖在盡可能少的廣播臺播出，但一定要覆蓋Z國12個市。

廣播臺覆蓋的市

Tim	A、B、C、G
Black	B、E、G、J、L
Ada	D、F、A、K
Huang	F、H、I、J
Bai	C、H
Ket	D、E、F、G、K
Yellow	L、I、A

每個廣播臺都覆蓋特定的區域，不同的廣播臺覆蓋的區域可能重疊。

如何找出覆蓋Z國12個市的最小廣播電臺集合呢？

具體方法如下:

(1) 列出每個可能的廣播臺集合，這被稱為冪集（power set），可能的子集有$2^n$個，其中n為電臺個數。

(2) 在這些集合中，選出覆蓋Z國12個市的最小集合。

問題是計算每個可能的廣播臺子集需要很長時間。由于可能的子集有$2^n$個，因此運行時間為O($2^n$)。如果廣播臺不多，只有5～10個，這是可行的。但如果廣播臺很多，結果將如何呢？隨著廣播臺的增多，需要的時間將激增。假設我們每秒可以計算10個子集，則所需時間如下：

廣播電臺數量需要的時間

5	3.2秒
10	102.4秒
32	13.6年
100	$4?10^{21}$年

現在，我們沒有任何算法可以足夠快地解決這個問題，那該咋整呢？

近似算法

在有些情況下，完美是優秀的敵人。有時候，你只需找到一個能夠大致解決問題的算法，此時貪婪算法正好可派上用場，因為它們實現起來很容易，得到的結果又與正確結果相當接近。

使用下面的貪婪算法可得到非常接近的解：

(1) 選出這樣一個廣播臺，即它覆蓋了最多的未覆蓋城市。即便這個廣播臺覆蓋了一些已覆蓋的城市，也沒有關系。

(2) 重復第一步，直到覆蓋了所有的城市。

這是一種近似算法（approximation algorithm）。在獲得精確解需要的時間太長時，可使用近似算法。判斷近似算法優劣的標準如下：速度有多快；得到的近似解與最優解的接近程度。

在這個例子中，貪婪算法的運行時間為$O(n^2)$，其中n為電臺個數。

代碼實現

首先，我們先創建一個集合，里面包含了要覆蓋的12個城市：

city_needed = set(['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L'])

我們再用散列表表示廣播電臺的清單：

stations = {} stations = {} stations['Tim'] = set(['A', 'B', 'C', 'G']) stations['Black'] = set(['B', 'E', 'G', 'J', 'L']) stations['Ada'] = set(['D', 'F', 'A', 'K']) stations['Huang'] = set(['F', 'H', 'I', 'J']) stations['Bai'] = set(['C', 'H']) stations['Ket'] = set(['D', 'E', 'F', 'G', 'K']) stations['Yellow'] = set(['L', 'I', 'A'])

設置一個集合來存儲最終選擇的廣播電臺：

final_stations = set()

python代碼：

while city_needed:best_station = Nonecity_covered = set()for station, city_for_station in stations.items():covered = city_needed & city_for_stationprint(covered)if len(covered) > len(city_covered):best_station = stationcity_covered = coveredfinal_stations.add(best_station)print(best_station)city_needed -= city_coveredprint(final_stations)

控制臺輸出：

{'Tim', 'Ada', 'Black', 'Huang'}

NP完全問題

集合問題屬于NP完全問題，在NP完全問題中，我們需要計算所有的解，并從中選出最小/最短的那個。NP完全問題的簡單定義是，以難解著稱的問題，如旅行商問題和集合覆蓋問題。

NP完全問題無處不在，如果能夠判斷出要解決的問題屬于NP完全問題就好了，這樣就不用去尋找完美的解決方案，而是使用近似算法即可。但要判斷問題是不是NP完全問題很難，易于解決的問題和NP完全問題的差別通常很小。

就比如我們前幾個Blog討論的最短路徑問題，要求我們找出從A出發到B的最短路徑。但是如果題目要求我們找出經由指定幾個點的最短路徑，那這個問題就變成了旅行商問題，也就是NP完全問題。簡而言之，沒辦法判斷問題是不是NP完全問題，但是還是可以從一些蛛絲馬跡中判斷的：

• 元素較少時算法的運行速度非常快，但隨著元素數量的增加，速度會變得非常慢。
• 涉及“所有組合”的問題通常是NP完全問題。
• 不能將問題分成小問題，必須考慮各種可能的情況。
• 如果問題涉及序列（如旅行商問題中的城市序列）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題涉及集合（如廣播臺集合）且難以解決，它可能就是NP完全問題。
• 如果問題可轉換為集合覆蓋問題或旅行商問題，那它肯定是NP完全問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的小白的算法初识课堂(part8)--贪婪算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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