讀書筆記

學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》-張?zhí)烊?

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分數(shù)維

在經(jīng)典幾何中，是用拓撲的方法來定義維數(shù)的，也就是說，空間的維數(shù)等于決定空間中任何一點位置所需要變量的數(shù)目。例如，所謂我們生活在三維空間，是因為我們需要三個數(shù)值：經(jīng)度、緯度和高度來確定我們在空間的位置。

如上面所定義的拓撲維數(shù)，如何用分數(shù)維數(shù)才能解釋像皮亞諾圖形、科赫雪花、分形龍這些奇怪的幾何圖形呢？ 維數(shù)概念的擴展，要歸功于德國數(shù)學家費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫在1919年給出了維數(shù)新定義，為維數(shù)的非整數(shù)化提供了理論基礎。

在分形幾何中，我們將拓撲方法定義的維數(shù)，擴展成用與自相似性有關的度量方法定義的維數(shù)。我們在之前的Blog中已經(jīng)介紹了分形龍的自相似性，其實，經(jīng)典整數(shù)維的幾何圖形，諸如一條線段、一個長方形、一個立方體，也具有這種自相似性，只不過，它們的自相似性太平凡而不起眼，被人忽略了而已。也就是說：線、面、體……這些我們常見的整數(shù)維幾何形狀，也算是分形.就像實數(shù)中包括了整數(shù)一樣，擴展了的分形維數(shù)定義當然也包括了整數(shù)維在內(nèi)。

用自相似性來定義維數(shù)，可以這么理解，首先將圖形按照N∶1的比例縮小，然后，如果原來的圖形可以由M個縮小之后的圖形拼成的話，這個圖形的維數(shù)d，也叫豪斯多夫維數(shù)，就等于：
$$d=ln(M)/ln(N)$$

我們以線、面、體為例，來解釋豪斯多夫維數(shù)：

(a)中一條線段是由兩個與原線段相似、長度一半的線段接成的；(b)中長方形自身可以看成是由4個與自己相似的，大小為四分之一的部分組成的；(c )中一個立方體，則可以看成是由8個大小為自身八分之一的小立方體組成的。

計算他們的豪斯多夫維數(shù)，分別為1維、2維、3維。

現(xiàn)在我們以同樣的方法來計算科赫曲線的維數(shù)：

首先，將科赫曲線的尺寸縮小至原來的三分之一；然后，用4個這樣的小科赫曲線，便能構(gòu)成與原來一模一樣的科赫曲線。因此，我們得到科赫曲線的維數(shù)$d＝ln4/ln3＝1.2618\dots$，這就說明了，科赫曲線的維數(shù)不是一個整數(shù)，而是一個小數(shù)，或分數(shù)……

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part2)-豪斯多夫维数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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