強連通分量分解的Kosaraju算法

今天是算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)專題的第35篇文章，我們來聊聊圖論當中的強連通分量分解的Tarjan算法。

Kosaraju算法一看這個名字很奇怪就可以猜到它也是一個根據(jù)人名起的算法，它的發(fā)明人是S. Rao Kosaraju，這是一個在圖論當中非常著名的算法，可以用來拆分有向圖當中的強連通分量。

背景知識

這里有兩個關(guān)鍵詞，一個是有向圖，另外一個是強連通分量。有向圖是它的使用范圍，我們只能使用在有向圖當中。對于無向圖其實也存在強連通分量這個概念，但由于無向圖的連通性非常強，只需要用一個集合維護就可以知道連通的情況，所以也沒有必要引入一些算法。

有向圖我們都了解，那么什么叫做強連通分量呢？強連通分量的英文是strongly connected components。這是一個很直白的翻譯，要理解它我們首先需要理解強連通的概念。在有向圖當中，如果兩個點之間彼此存在一條路徑相連，那么我們稱這兩個點強連通。那么推廣一下，如果一張圖當中的一個部分中的每兩個點都連通，那么這個部分就稱為強連通分量。

強連通分量一般是一張完整的圖的一個部分，比如下面這張圖當中的{1, 2, 3, 4}節(jié)點就可以被看成是一個強連通分量。

其實求解強連通分量的算法并不止一種，除了Kosaraju之外還有大名鼎鼎的Tarjan算法可以用來求解。但相比Tarjan算法，Kosaraju算法更加直觀，更加容易理解。

算法原理

Kosaraju算法的原理非常簡單，簡單到只有三個步驟：

我們通過后序遍歷的方式遍歷整個有向圖，并且維護每個點的出棧順序

我們將有向圖反向，根據(jù)出棧順序從大到小再次遍歷反向圖

對于點u來說，在遍歷反向圖時所有能夠到達的v都和u在一個強連通分量當中

怎么樣，是不是很簡單？

下面我們來詳細闡述一下細節(jié)，首先后序遍歷和維護出棧順序是一碼事。也就是在遞歸的過程當中當我們遍歷完了u這個節(jié)點所有連通的點之后，再把u加入序列。其實也就是u在遞歸出棧的時候才會被加入序列，那么序列當中存儲的也就是每個點的出棧順序。

這里我用一小段代碼演示一下，看完也就明白了。

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我們在訪問完了所有的v之后再把u加入序列，這也就是后序遍歷，和二叉樹的后序遍歷是類似的。

反向圖也很好理解，由于我們求解的范圍是有向圖，如果原圖當中存在一條邊從u指向v，那么反向圖當中就會有一條邊從v指向u。也就是把所有的邊都調(diào)轉(zhuǎn)反向。

我們用上面的圖舉個例子，對于原圖來說，它的出棧順序我們用紅色筆標出。

也就是[6, 4, 2, 5, 3, 1]，我們按照出棧順序從大到小排序，也就是將它反序一下，得到[1, 3, 5, 2, 4, 6]。1是第一個，也就是最后一個出棧的，也意味著1是遍歷的起點。

我們將它反向之后可以得到：

我們再次從1出發(fā)可以遍歷到2，3， 4，說明{1, 2, 3, 4}是一個強連通分量。

怎么樣，整個過程是不是非常簡單？

我們將這段邏輯用代碼實現(xiàn)，也并不會很復雜。

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思考

算法講完了，代碼也寫了，但是并沒有結(jié)束，仍然有一個很大的疑惑沒有解開。算法的原理很簡單，很容易學會，但問題是為什么這樣做就是正確的呢？這其中的原理是什么呢？我們似乎仍然沒有弄得非常清楚。

這里面的原理其實很簡單，我們來思考一下，如果我們在正向dfs的時候，u點出現(xiàn)在了v點的后面，也就是u點后于v點出棧。有兩種可能，一種可能是u點可以連通到v點，說明u是v的上游。還有一種可能是u不能連通到v，說明圖被分割成了多個部分。對于第二種情況我們先不考慮，因為這時候u和v一定不在一個連通分量里。對于第一種情況，u是v的上游，說明u可以連通到v。

這時候，我們將圖反向，如果我們從u還可以訪問到v，那說明了什么？很明顯，說明了在正向圖當中v也有一條路徑連向u，不然反向之后u怎么連通到v呢？所以，u和v顯然是一個強連通分量當中的一個部分。我們再把這個結(jié)論推廣，所有u可以訪問到的，第一次遍歷時在它之前出棧的點，都在一個強連通分量當中。

如果你能理解了這一點，那么整個算法對你來說也就豁然開朗了，相信剩下的細節(jié)也都不足為慮了。

今天的文章到這里就結(jié)束了，如果喜歡本文的話，請來一波素質(zhì)三連，給我一點支持吧（關(guān)注、轉(zhuǎn)發(fā)、點贊）。

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總結(jié)

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