問題

有Alice和Bob兩個人，隨機給他們兩個數x和y(0或1)，然后A和B根據他們得到數(x和y)給兩個個數a和b(0或1)。

規則如下：

如果輸入的x和y都是1，那么，Alice和Bob給出不一樣的數獲勝；否則，Alice和Bob給出相同的數獲勝。

Alice和Bob在拿到x和y后就不能交談了，但是在拿到前可以交流。

問：Alice和Bob怎樣約定獲勝的可能性最大？

一共有以下十六中情況：

x	y	a	b	result
0	0	0	0	贏
0	0	0	1	輸
0	0	1	0	輸
0	0	1	1	贏
0	1	0	0	贏
0	1	0	1	輸
0	1	1	0	輸
0	1	1	1	贏
1	0	0	0	贏
1	0	0	1	輸
1	0	1	0	輸
1	0	1	1	贏
1	1	0	0	輸
1	1	0	1	贏
1	1	1	0	贏
1	1	1	1	輸

經典解法

我們可以看到，如果Alice和Bob隨機輸出a和b，即輸出的a和b與輸入的x和y無關，那么他們獲勝了可能性是50%，也就是0.5。

如果有提前約定呢？

當輸入x和y都是0的時候，Alice和Bob可以約定都出0（約定都出1也是一樣的道理），這樣，輸入是（0，0）的25%可能是一定獲勝。

但是當你的輸入是1的時候，你不知道另一個人是的輸入是0還是1。

如果約定出0，即，無論輸入是什么都出0，則，獲勝的可能性是75%，只有輸入是（1，1）時失敗。

如果約定出1，即，輸入什么輸出什么，則獲勝的可能性是25%，只有輸入是（0，0）才獲勝。

如果約定一個出0一個出1（假設A遇1出1，B遇1出0），則成功率75%，只有在輸入是（1，0）時失敗。

綜上，在經典解法中，成功的概率最大是0.75。

量子解法

首先我們給Alice和Bob一對bell態的量子比特（(|psiangle=frac{1}{sqrt2}|00angle + frac{1}{sqrt2}|11angle=frac{1}{sqrt2}|++angle + frac{1}{sqrt2}|--angle)）

然后他們分別根據自己的輸入對自己量子比特測量，測量結果就是他們的輸出。

測量方式如下：

如果Alice的輸入是0，那么就在(| 0angle)、(| 1angle)基測量，如果輸入是1，就在(| uangle)、(| u'angle)基測量。

如果Bob的輸入是0，那么就在(| vangle)、(| v'angle)基測量，如果輸入是1，就在(| wangle)、(| w'angle)基測量。

這樣的獲勝的可能性是多少呢？

如果輸入是（0，0）：因為Alice的輸入是0，所以Alice用(| 0angle)、(| 1angle)基測量，測量在不在(| 0angle)，在的話輸出1，不在輸出0，并且可以知道他在(| 1angle)。此時，因為Alice和bob的量子是糾纏的，Bob的量子比特也會坍縮到(| 0angle)或者(| 1angle)的位置。Bob的輸入也是0，所以Bob要在(| vangle)、(| v'angle)基測量，看量子在不在(| vangle)。如果Alice的量子最終坍縮到了(| 0angle)，在(| vangle)測量得到1的概率為(cos^2frac{pi}{8})，因為(| 0angle)和(| vangle)之間的夾角是(frac{pi}{8})，則有(cos^2frac{pi}{8})的概率成功，如果Alice的量子坍縮到了(| 1angle)，則Alice的輸出為0，在在(| vangle)測量得到1的概率為(cos^2frac{3pi}{8})，但是這個時候輸出0才會獲勝，所以成功的概率依舊是(cos^2frac{3pi}{8})。

其他輸入的情況，按照上述過程，獲勝的概率也都是(cos^2frac{3pi}{8})，則總的獲勝概率是(cos^2frac{3pi}{8} approx 0.85)

結論

量子解法的最大成功率 (>) 經典解法的最大成功率

[0.85 > 0.75
]

量子糾纏存在

參考資料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4

總結

以上是生活随笔為你收集整理的量子纠缠2——CHSH不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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