總第119篇

前言

之前談到的線性表、棧和隊列都是一對一的數據結構，但是現實中也存在很多一對多的數據結構，這篇要寫的就是一種一對多的數據結構———樹。全文分為如下幾部分：

• 樹的一些基本概念

• 樹的存儲結構

• 二叉樹

• 樹與二叉樹相互轉換

• 樹和森林的遍歷

前文導航：

數據結構—線性表

數據結構-棧和隊列

樹的一些基本概念

樹是n個結點的有限集，n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：

• 有且只有一個特定的稱為根的結點（下圖中的結點A），

• 當n>1時，其余結點可分為m個互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，并且稱為根的子樹。
  

結點：A、B、C、D等都是結點，結點不僅包含數據元素，而且包含指向子樹的分支。比如，結點A不僅包含數據元素A，還包含指向結點B、C、D的指針。

結點的度：結點擁有的子樹個數或者分支的個數。例如，A結點有B、C、D3棵子樹，所以A結點的的度為3。

樹的深度或高度：樹中各結點度的最大值稱為樹的深度。

結點的深度：結點的深度是從根結點到該結點路徑上的結點個數。

結點的高度：從某一結點往下走可能到達的多個葉子結點，對應了多條通往這些葉子節點的路徑，其中最長那條路徑的長度即為該結點在樹中的深度。根節點的高度為樹的高度。
葉子結點：是指結點的度為0的結點，即不指向任何結點的結點。比如結點F、G、M、I、J。

孩子：某一結點指向的結點，比如A結點的孩子就是B、C、D結點。

雙親：與孩子相對應，B、C、D的雙親就是結點A。

兄弟：同一雙親的孩子之間互稱為兄弟。B、C、D結點互稱為兄弟。

堂兄弟：雙親在同一層次的結點互為堂兄弟。G、H、F互為堂兄弟。

祖先：從根結點到具體某節點的路徑上的所有結點，都是這個結點的祖先。結點K的祖先是A、B、E。

子孫：與祖先的概念相對應，以某結點為根的子樹中的所有結點，都是該結點的子孫。結點D的子孫為H、I、J、M。

層次：從根開始，根為第一層，根的孩子為第二層，根的孩子的孩子為第三層，以此類推。

無序樹：如果將樹中結點的各子樹看成是從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該樹為有序樹，否則稱為無序樹。

森林：是若干顆互不相交的樹的集合。如果把根節點A去掉，剩下的三棵互不相交樹就是森林。

樹的存儲結構

1.順序存儲結構

樹的順序存儲結構中最簡單直觀的是雙親存儲結構，用一維數組即可實現。雙親結點就是用雙親的信息來存儲數據，比如結點2、3、4的雙親是1，結點5、6、7的雙親是3，結點1是根節點，無雙親，令其等于-1。

2.鏈式存儲結構

樹的鏈式存儲中最常用的兩種結構主要是孩子存儲結構、孩子兄弟存儲結構。

孩子存儲結構就是讓每個結點由一個數據域+若干個指針域組成，指針域的個數等于孩子的個數，讓每個指針指向一個孩子。

孩子兄弟存儲結構是每個結點有兩個指針，一個指針指向該結點的其中一個孩子(長子)，另一個指針指向該結點的兄弟。

二叉樹

二叉樹是由n個結點的有限集合，該集合或者為空集，或者由一個根節點和兩顆互不相交的、分別稱為根節點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

二叉樹有如下特征：

• 每個結點最多只有兩顆子樹，即二叉樹中結點的度最高不能超過2。

• 子樹的左右順序之分，不能顛倒。

1.特殊二叉樹

滿二叉樹：在一顆二叉樹中，如果所有的分支結點都有左孩子和右孩子結點，并且葉子節點都集中在二叉樹的最下一層，則這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

完全二叉樹：如果對一顆深度為k，有n個結點的二叉樹進行編號后，各結點的編號與深度為k的滿二叉樹中相同位置上的結點的編號均相同，那么這棵二叉樹就是一顆完全二叉樹。
一顆完全二叉樹其實就是由一顆滿二叉樹從右至左從下至上的，挨個刪除結點以后所得到的。

2.二叉樹的存儲結構

2.1順序存儲結構

順序存儲即用一個數組來存儲一顆二叉樹，具體存儲方法為將二叉樹中的結點進行編號，然后按編號依次將結點值存入到一個數組中，即完成了一顆二叉樹的順序存儲。這種存儲結構比較適合存儲完全二叉樹，用于存儲一般的二叉樹會浪費大量的存儲空間。

2.2鏈式存儲結構

順序結構有一定的局限性，不便于存儲任意形態的二叉樹。通過二叉樹的形態，可以發現一個根節點與兩顆子樹有關系，因此設計一個含有一個數據域和兩個指針域的鏈式結點結構，具體如下：

data表示數據域，用于存儲對應的數據元素；lchild和rchild分別表示左指針域和右指針域，分別用于存儲左孩子結點和右孩子結點的位置,如果沒有右孩子結點，則右指針為空。這種存儲結構稱為二叉鏈表存儲結構。定義如下：

typedef?struct?BTNode {char?data;struct?BTNode?*lchild;struct?BTNode?*rchild; }BTNode;

3.二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷分為深度優先遍歷和廣度優先遍歷，深度優先遍歷主要就是先序、中序、后序這三種遍歷方式，而層次遍歷屬于廣度優先遍歷。下面幾種遍歷的前提是樹不為空，如果樹為空，則停止遍歷。

3.1先序遍歷

先訪問根節點，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。代碼如下：

void?preorder(BTNode?*p) {if(p?!=?NULL){Visit(p);????//Visit為訪問函數，其中包含了對結點p的各種訪問操作preorder(p?->?lchild);????//遍歷左子樹preorder(p?->?rchild);????//遍歷右子樹} }

3.2中序遍歷

先遍歷左子樹，然后訪問根節點，最后遍歷右子樹。

void?preorder(BTNode?*p) {if(p?!=?NULL){inorder(p?->?lchild);????//遍歷左子樹Visit(p);????//訪問根結點inorder(p?->?rchild);????//遍歷右子樹} }

3.3后序遍歷

先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結點。

void?preorder(BTNode?*p) {if(p?!=?NULL){posorder(p?->?lchild);????//遍歷左子樹posorder(p?->?rchild);????//遍歷右子樹Visit(p);????//訪問根結點} }

3.4層次遍歷

層次遍歷是將樹分為若干層，然后每一層（互為兄弟的結點為一層）每一層去遍歷。如下圖所示：

具體代碼如下：void?level(BTNode?*p) {int?front,rear;BTNode?*que[maxsize];front?=?rear?=?0;BTNode?*q;if(p?!=?NULL){rear?=?(rear?+?1)%maxsize;que[rear]?=?p;while(front?!=?rear){front?=?(front?+?1)%maxsize;q?=?que[front];Visit(q);if(q?->?lchild?!=?NULL){rear?=?(rear?+1)%maxsize;que[rear]?=?q?->?lchild;}if(q?->?rchild?!=?NULL){rear?=?(rear?+?1)%maxsize;que[rear]?=?q?->?rchild;}}} }

樹和森林與二叉樹的相互轉換

樹的鏈式存儲結構和二叉樹存儲結構的指針域表示的意義不同，在二叉樹鏈式存儲結構中，結點的左指針域指向左孩子，右指針域指向右孩子；而在樹的鏈式存儲中，結點的一個指針用來指向一個孩子，另一個指針用來指向自己的兄弟結點，我們把這種方式稱為孩子兄弟存儲法。

關于樹、森林、二叉樹之間的相互轉化，這篇博客寫的很清晰，很詳細，這里直接引用該博主的文章。
博客地址：https://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52823925

1.樹轉化為二叉樹

樹變二叉樹的規則：每個結點的左指針指向它的第一個孩子結點。右指針指向它在樹中的相鄰兄弟結點。也即：左孩子右兄弟。根沒有兄弟，所以轉換以后的樹沒有右子樹。

具體操作：

• 在兄弟之間連線

• 對每一個結點，只保持它與第一個子結點（長子）的連線，與其他子結點的連線全部抹去。

• 以樹根為軸心，順時針旋轉45度。
  

2.二叉樹轉化為樹

二叉樹轉化為樹這個過程是樹轉化為二叉樹的一個逆過程，具體轉化過程如下：

• 加線。如果某個結點有左孩子，那么把這個左孩子的右孩子，右孩子的右孩子，一直右下去，全部連接到這個結點。這個對應樹變二叉樹算法中的抹掉與長子以外的結點的連線，現在要找回自己的全部兒子。

• 去線。刪除樹中所有結點與這些右孩子的連線。找回了自己的兒子，不容許別人還和它們有瓜葛。

• 層次調整。
  

3.森林轉化為二叉樹

森林轉化為二叉樹的規則是:

• 先將每一棵樹化為二叉樹

• 第一棵樹的根作為轉換后的二叉樹的根

• 第一棵樹的左子樹作為轉換后的二叉樹的根的左子樹

• 第二棵樹作為二叉樹的右子樹

• 第三棵樹作為二叉樹右子樹的右子樹
  …
  

這里主要運用的點是：轉換為二叉樹后，這個二叉樹沒有右子樹，因此騰出右手可以接一棵新的樹，因此這樣可以連接很多由樹化來的二叉樹。

對照這個算法去想二叉樹變森林，就很容易明白，先砍掉根和它的左子樹作為一個整體，再對剩下的部分同樣操作。

4.二叉樹轉化為森林

轉化規則如下：

• 遞歸出口：若二叉樹非空，則二叉樹根及其左子樹作為第一棵樹的二叉樹形式。

• 遞歸：操作二叉樹的右子樹。即拿掉一棵樹后，再對剩下的二叉樹部分進行同樣的操作，直到無右子樹為止。

砍成一堆二叉樹后，還得注意并沒結束，重點不是二叉樹，而是樹，因此用上面的二叉樹化樹的算法化成森林。

樹和森林的遍歷

1.樹的遍歷

樹的遍歷有兩種方式：先序遍歷和后序遍歷。

先序遍歷是先訪問根結點，再依次訪問根結點的每棵子樹，訪問子樹時仍然遵循先根結點再子樹的原則。

后序遍歷是先依次訪問根結點的每顆子樹，再訪問根結點，訪問子樹時仍然遵循先子樹再根的規則。

2.森林的遍歷

森林的遍歷方式也有兩種，一種是先序遍歷、一種是后序遍歷。

先序遍歷的過程：先訪問森林中第一顆樹的根結點，然后先序遍歷第一顆樹中根結點的子樹，最后先序遍歷森林中除第一顆樹以外的其他樹。

后續遍歷的過程：先后序遍歷第一顆樹中根結點的子樹，然后訪問第一顆樹的根結點，最后后序遍歷森林中除去第一顆樹以外的森林。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构—树与二叉树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。