1. 線積分

線積分的對(duì)象為數(shù)值量函數(shù)，用于計(jì)算諸如“非均勻曲線質(zhì)量”這樣的問題。解決辦法是將曲線分割成無數(shù)小段，在每個(gè)小段上質(zhì)量近似不變，于是總質(zhì)量就是∑ρ(xi,yi)⊿s，ρ是線密度且表示為(x,y)的函數(shù)，s是曲線長(zhǎng)度。再想想如何計(jì)算曲線長(zhǎng)度并將問題一般化，就可以得到二維情形下的積分式子：

（假定曲線方程為y(x)，線密度為f(x,y)）

∫f(s)ds = ∫f(x,y(x))sqrt(1+y'²)dx

拓展到三維，將曲線使用向量式子表示，并使用參變量，就得到：

f(x,y,z)在曲線上取值，上式中假定曲線r可寫為參變量t的形式<g(t), h(t), k(t)>，并利用了ds=|v(t)|dt。

實(shí)際計(jì)算時(shí)可由曲線向量式r(t)求導(dǎo)得到v(t)從而得到|v(t)|。

2. 向量場(chǎng)積分

同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》教材稱之為對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，因?yàn)榉e分式最終可化為對(duì)坐標(biāo)積分形式。這里我們按《托馬斯微積分》的名詞稱之為向量場(chǎng)積分。這種積分可用于計(jì)算變力在曲線上做的功。在計(jì)算時(shí)取函數(shù)在向量方向的分量，積分對(duì)象為向量函數(shù)（相比之下，線積分的對(duì)象為數(shù)值量函數(shù)）。

從上式中看出，向量場(chǎng)上的積分也可看作被積向量在曲線切方向上的(數(shù)值)線積分。

r是曲線（位置）向量，dr是沿曲線切線方向的向量，∫F·dr就是向量場(chǎng)積分。

對(duì)于已知F和r的情況，使用∫F·vdt最為直觀。

另，上圖中r是位置向量，但dr不是（？）。

后三個(gè)式子（...=∫Mdx+Ndy+Pdz）可以這么理解：分別在各個(gè)方向計(jì)算“力”和“運(yùn)動(dòng)距離”的乘積然后累加。例如，M是“力”（F）在x方向的分量，而dx是“運(yùn)動(dòng)軌跡”（r）在x方向的瞬時(shí)分量。

3. 流量積分與環(huán)流量

流量積分有兩種：沿曲線方向和垂直曲線方向。這個(gè)小節(jié)先說第一種：沿曲線方向。如果曲線是直線，速度向量又沿著曲線方向且恒定，那么沿沿曲線方向的流量就是速率|v|乘上線長(zhǎng)度。當(dāng)然一般來說曲線非直線，速度也非恒定；此時(shí)流量積分（包括環(huán)流量）使用和向量場(chǎng)積分相同的式子：任意方向的“流”均可分解為沿曲線的切方向與法方向；只有切方向計(jì)入沿曲線的流量，法方向的“流”對(duì)流量的影響為0。

4. 通量

通量也稱為“穿過曲線的流量”，是流出與進(jìn)入某曲線圍成區(qū)域流量的差，因此計(jì)算時(shí)使用垂直于曲線方向（法線方向）的速度分量。如果直接計(jì)算我們需要先算曲線的法向量n然后算F·n，好在一般來說我們不需要計(jì)算曲線的法向分量（對(duì)二維情況），而直接使用下述式子：

我們把一條平面曲線在某點(diǎn)的切分量和法分量都畫一下：

上圖中，法向量以小寫n表示，避免與流速向量的N分量沖突。對(duì)于一個(gè)在x方向和y方向上的分量分別為dx和dy的小線段，從該線段的M方向上流出區(qū)域的量為Mdy，N方向流入?yún)^(qū)域的量為Ndx，綜合起來在該線段上的總流出量就是Mdy-Ndx。上圖中T和n的x分量同符號(hào)，y分量反符號(hào)，于是Mdy取正（M沿x方向），Ndx取負(fù)（N沿y方向）。

也許下面的圖更加直觀一點(diǎn)（注意環(huán)線上的箭頭方向）：

Mdy：流出矩形（M入左側(cè)負(fù)向環(huán)線，出右側(cè)正向環(huán)線）

Ndx：流入矩形（N入下側(cè)正向環(huán)線，出上側(cè)負(fù)向環(huán)線）

[附注：直接用F.n而不用Mdy-Ndx也是可以的；看哪個(gè)方便了。n是曲線方程標(biāo)量形式f(x,y)梯度的單位化。]

5. 通量密度、散度；環(huán)量密度，旋度（k分量）

“散度”可理解為向量的“發(fā)散程度”，將x方向和y方向的發(fā)散程度（偏導(dǎo)）相加即得。

環(huán)量密度可以這樣考慮：向量繞某點(diǎn)“旋轉(zhuǎn)”的原因是內(nèi)外流速差，N方向的內(nèi)外流速差為dN/dx，M方向的流速差為-dM/dy。

6. 格林定理

[警告：以下兩張圖片復(fù)制自《托馬斯微積分》中文版，不幸的是存在錯(cuò)誤。當(dāng)然，我相信對(duì)于你發(fā)現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤并不困難。]

散度是向量在區(qū)域某點(diǎn)的“發(fā)散”程度，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)積分就得到該區(qū)域上的通量；

旋度是向量繞區(qū)域某點(diǎn)的“旋轉(zhuǎn)”程度，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)積分就得到該區(qū)域上的環(huán)量。

7. 積分路徑無關(guān)條件

梯度場(chǎng)總是指向函數(shù)增長(zhǎng)最快的方向，所以梯度場(chǎng)的旋度為0（既然指向增長(zhǎng)最快方向，那么肯定“旋”不回來）。

如果某個(gè)場(chǎng)的旋度為0，那就表示沿該場(chǎng)內(nèi)任意閉路徑積分為0（路徑無關(guān)）。

如果某個(gè)場(chǎng)的旋度不為0，假設(shè)這是個(gè)力場(chǎng)，那就表示質(zhì)點(diǎn)可以在力總是做正功的情況下回到起點(diǎn)（？）。

即：旋度為0 <=> 是某標(biāo)量場(chǎng)梯度 <=> 積分路徑無關(guān)（保守場(chǎng)）

判斷是否為保守場(chǎng)直接計(jì)算旋度即可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的向量场中的积分的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。