單縫衍射現象如下圖所示：

半波帶法分析衍射圖樣

半波帶

如上圖，分析P點處是亮條紋還是暗條紋。現將 BC 分成 N 等份, 每份長度為λ/ 2, 即把波面 AB 切割成 N 個波帶, 使得相鄰兩個波帶上的對應點所發出的次波到達 P 點處的光程差均為λ/ 2 。對于某一確定的衍射角( heta)，若 BC 恰好為半波長的偶數倍，則在P點處各相鄰兩個子波帶干涉相消，整體將呈現為暗條紋中心。若 BC 恰好為半波長的奇數倍，相鄰波帶的光在P點干涉相消，還剩一個波帶的光到達P點，于是 P 點處將呈現為明條紋中心；衍射角越大，對應明條紋越暗。對于某衍射角，如果波振面AB不能恰好分出整數個半波帶，則屏上對應點強度介于明和暗之間。

綜上，暗條紋中心

egin{equation*}
bsin heta=pm klambda,k=1,2,3,cdots
end{equation*}

明條紋中心（近似）

egin{equation*}
bsin heta=pm klambda,k=0,1,2,3,cdots
end{equation*}

強度分布

研究寬度為(b)的無限長單縫產生的夫瑯禾費衍射圖樣。假設一列平面波垂直入射到單縫上，現在需要計算透鏡焦平面上的屏上的強度分布。縫可以看做是由大量等間距的點光源組成，并且認為，縫上每一點都是一個惠更斯子波源，它們發出的子波互相干涉。設點光源(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)，并設相鄰點光源的間隔為(Delta)，如下圖所示。

如果點光源的數目為(n)，則

[b=(n-1)Delta
]

現在需要計算(n)個點光源在點(P)的總疊加場。點(P)是透鏡焦平面上任意一點，此點所能接收的平行光與狹縫法線的夾角為( heta)。實際上縫是由連續分步的點光源組成，所以在最后的結果表達式中，將是(n)趨于無窮大，(Delta)趨于零，并保持(nDelta)趨于(b)。

點(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)到點(P)的距離比縫寬(b)是很大的，所以，從這些點達到點(P)的振動的振幅幾乎完全相等。但是，雖然它們到點(P)的距離只有微小的差別，但是相位差不可忽略。

對于垂直入射的平面波，在點(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)是同相位的。點(A_2)發出的波與點(A_1)發出的波的光程差為(overline{A_2A_2'})

[overline{A_2A_2'}=Delta sin heta
]

相應的相位差

[phi=frac{2pi}{lambda}Delta sin heta
]

同理，相鄰點發出的相位差也是(phi)。如果點(A_1)發出的波在點(P)產生的場(E_0cos omega t)，因此，各點在點(P)產生的合振動為

[E=E_0{cos omega t+cos (omega t-phi)+ldots+cos [omega t-(n-1)phi)]}
]

如下圖可計算點(P)處的合振動

計算結果為

[E=frac{E_0sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}cos[omega t -(n-1)phi/2]
]

也可以用復數法得到上述結果。

[widetilde{E}=E_0e^{iomega t}[1+e^{-iphi}+ldots+e^{-i(n-1)phi}]=E_0e^{iomega t}frac{1-e^{-i n phi}}{1-e^{-i phi}}
]

[=E_0frac{e^{i n phi/2}-e^{-i n phi/2}}{e^{i phi/2}-e^{-i phi/2}}frac{e^{-i n phi/2}}{e^{-i phi/2}}e^{iomega t}
]

[=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}e^{left {ileft [omega t-(n-1)frac{phi}{2}ight ] ight }}
]

點(P)處，合振幅

[E_P=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}approx E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{phi}{2}}=(n-1)E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{(n-1)phi}{2}}
]

在(nightarrow infty)和((n-1)Deltaightarrow b)情況下，

[frac{(n-1)phi}{2}=pi (n-1)Deltasin heta /lambda ightarrow pi bsin heta /lambda
]

令(eta=pi bsin heta /lambda)，因此有點(P)處的振動為

[E=(n-1)E_0frac{sin eta}{eta}cos(omega t - eta)
]

光強

[I=I_0frac{sin^2 eta}{eta^2}
]

其中，(I_0)為( heta=0)處的光強。

夫瑯禾費單縫衍射強度分布見下圖

極大值與極小值的位置

極小值的位置由下述關系給出

[eta=kpi
]

即

[bsin heta =klambda, k=pm 1,pm 2,ldots
]

極大值由以下超越方程的根給出

[ an eta=eta
]

總結

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