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能否從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出此公式，以使傅里葉級數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細(xì)解釋一下此公式的得出過程：

１、把一個周期函數(shù)表示成三角級數(shù)：

　　首先，周期函數(shù)是客觀世界中周期運(yùn)動的數(shù)學(xué)表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：

　　這里表示時間，表示振幅，為角頻率，為初相（與考察時設(shè)置原點(diǎn)位置有關(guān)，可以理解為一個常量）。

　　然而，世界上許多周期信號并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數(shù)之和來表示那個較復(fù)雜的周期函數(shù)呢？因?yàn)檎液瘮?shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：（關(guān)于傅里葉推導(dǎo)純屬猜想、已經(jīng)有知乎的網(wǎng)友指出是解熱方程和弦振動導(dǎo)出的，有機(jī)會找找相關(guān)資料）

　　這里，t是變量，其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有著不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n）、有不同的初相角（即），當(dāng)然還有一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（即）。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數(shù)。

這里強(qiáng)調(diào)一下，傅里葉級數(shù)中對不同頻率的波有一個要求就是給定一個初始的頻率,之后的角頻率必須是的整數(shù)倍， 這就是DTF（離散傅里葉變化）中的角頻率取值的原則。

應(yīng)該說，傅里葉是一個天才，想得那么復(fù)雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數(shù)弄成這么一個復(fù)雜的表示式。但傅里葉認(rèn)為，式子右邊一大堆的函數(shù)，其實(shí)都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計算。當(dāng)然，這個式能否成立，關(guān)鍵是級數(shù)中的每一項(xiàng)都有一個未知系數(shù)，如A0、An等，如果能把這些系數(shù)求出來，那么5式就可以成立。當(dāng)然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f(t),那么只需用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出各項(xiàng)系數(shù)，上式就可以成立，也能計算了。

因?yàn)槭莻€常數(shù)，也是常數(shù)。解過常微分方程的人都知道，方程中的常數(shù)能整合到一起就整合到一起。

于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：

這個變化并不陌生，源自于三角公式：

式中，藍(lán)色項(xiàng)即為我們需要合并的常數(shù)項(xiàng)，

記：，

這樣，公式{5}就可以寫成如下公式{6}的形式：

到了這一步我們只要解出、、的值即可。

2、麥克勞林公式中的待定系數(shù)法：

這里為解出、、值奠定下思路：

泰勒級數(shù)即為任意一個函數(shù)都可以用一個多項(xiàng)式來逼近，記為：

那么，麥克勞林令：

在每個等式中令x=0,然后使用待定系數(shù)法就可以解出A,B,C...的值

即：

而眾所周知三角函數(shù)在一個周期內(nèi)的積分為0，如圖

我們只要對(6)左右進(jìn)行積分后即可求出的值，然后依次代入即可解出、使用表達(dá)的公式。

3、三角函數(shù)的正交性：

　　這是為下一步傅里葉級數(shù)展開時所用積分的準(zhǔn)備知識。一個三角函數(shù)系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函數(shù)（包括常數(shù)1）中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-π, π]上的積分等于零，就說三角函數(shù)系在區(qū)間[-π, π]上正交，即有如下式子：

　　以上各式在區(qū)間[-π, π]的定積分均為0，第１第２式可視為三角函數(shù)cos和sin與１相乘的積分；第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數(shù)。下面通過計算第4式的定積分來驗(yàn)證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫成：

當(dāng)時，有：

可見在指定[-π, π]的區(qū)間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗(yàn)證。

4、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)：

　　先把傅里葉級數(shù)表示為下式，即⑥式：

　　對⑥式從[-π, π]積分，得：

解出：

這就求得了第一個系數(shù)的表達(dá)式，即最上邊傅里葉級數(shù)公式里的(2)式。接下來再求和的表達(dá)式。用乘{(lán)6}式的二邊得：

然后對上式從到逐項(xiàng)積分：

　　根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，紅色積分為0，藍(lán)色項(xiàng)中僅當(dāng)時積分不為0，其余項(xiàng)積分為0，所以有：

解得：

同理用乘{(lán)6}式的二邊得：

我們發(fā)現(xiàn)的分母為而為,為了統(tǒng)一分母我們令有：

(6)變形為：

推導(dǎo)的時候假設(shè),代入即可得到(2)、(3)、(4)

至此，已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)然這里有個條件：積分存在，這里涉及到勒貝格可積的問題，因?yàn)殡x散傅里葉變化涉及到周期內(nèi)有無限個可去間斷點(diǎn)的問題，狄利克雷條件僅僅是個充分條件，一個函數(shù)有傅里葉級數(shù)但是它也存在無限個間斷點(diǎn)以及極大值極小值比如方波信號。

至于勒貝格可積有空另開篇文章進(jìn)行證明。

綜上，傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：

1、設(shè)想可以把一個周期函數(shù)f(t)通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式；

2、通過變形后用三角級數(shù)（含sin和cos）來表示；

3、通過積分，把各未知系數(shù)用f(t)的積分式來表達(dá)；

4、最后得到的4個表達(dá)式就是傅里葉級數(shù)公式。

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實(shí)話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當(dāng)時想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級數(shù)……

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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