網絡流-EK求最大流

2021.8.17

網絡流最大流解決什么問題？

網絡流(network-flows)是一種類比水流的解決問題方法（摘自百度百科），最大流是求源點到匯點最大流量的方法。

算法原理

已知起點到終點，很容易想到深搜\廣搜求最大值的方式，但是，在最大流問題中，會出現如下情況：

假設1為源點，4為匯點，若對其進行搜索，路徑可能有1->2->3->4，隨后標記數組有如下標記：

那么，此時，流經1-2線路的水流，匯入了3號節點最終流向4號節點，此時3-4路徑已經被灌滿，2-4路徑沒有水流流入，最終匯入匯點的水流量為1。

但是，對于上述情況，最大流應該是如下情形：

此時匯點流入流量為2.

那么，在建圖順序位置時，如何計算出最大的流量？

退回流量，構建增廣路徑，當流量匯入其他渠道并且有部分無法匯入匯點，那么就代表其應該回到原渠道，按照原渠道走，但是搜索起來肯定難以實現，因此需要建立一條相反的路徑，讓流過去的水流能有機會返回原來的渠道，并且最多返回流過去的水流。（不管水流走在哪里，只要流入匯點即可，不必求出其準確的路徑）如下圖：

如此，在1-3路徑中的水流流入3號節點時，可以通過2-3路徑流回2號節點，再從2-4路徑流入4號匯點，此時便可得最大流量為2.（若1-3為2，則也只能退回1）.

但是通常情況下，退流一次并不會得到最大流，因此需要多次搜索多次退流。在EK求最大流中，每次選擇在部分流量匯入匯點后，對路徑的可行流進行更改，構建增廣路徑。此時圖中每個點的殘留量不影響結果，因再次搜索時只計算從源點流出的流量。

對其搜索時，正常進行搜索即可：

bool bfs() {queue<int>q;memset(vis, 0, sizeof vis);q.emplace(S); vis[S] = true, d[S] = 0x3f3f3f3f;while (!q.empty()) {int t = q.front(); q.pop();for (int i = head[t]; !i; i = nexte[i]) {int k = to[i];if (!vis[k] && wei[i]) {vis[k] = 1;d[k] = min(d[t], wei[i]);pre[k] = i;if (k == T)return true;q.emplace(k);}}}return false; }

其中，d數組記錄路徑最多流過的流量，pre數組記錄路徑編號，當成功匯入匯點，則跳出。

每次對路徑進行更新時，則對上一步搜索到的路徑進行退流：

int EK() {int res = 0;while (bfs()) {//搜索直到沒有可行流res += d[T];for (int i = T; i != S; i = to[pre[i] ^ 1])//建圖時，反向邊編號比正向邊多1wei[pre[i]] -= d[T], wei[pre[i] ^ 1] += d[T];//構建增廣路徑}return res; }

最終返回的res即為最大流。
注：正向路徑同樣要減去相應的流量大小，因路徑已經被部分或全部占用。

模板代碼

代碼

#include<iostream> #include<algorithm> #include<stdio.h> #include<string> #include<string.h> #include<queue>using namespace std;int nexte[20005], wei[20005], to[20005], head[20005]; int n, m, S, T; int idx; int pre[20005], d[20005]; bool vis[20005];void addedge(int u, int v, int c) {to[idx] = v, wei[idx] = c, nexte[idx] = head[u], head[u] = idx++;to[idx] = u, wei[idx] = 0, nexte[idx] = head[v], head[v] = idx++; }bool bfs() {queue<int>q;memset(vis, 0, sizeof vis);q.emplace(S); vis[S] = true, d[S] = 0x3f3f3f3f;while (!q.empty()) {int t = q.front(); q.pop();for (int i = head[t]; !i; i = nexte[i]) {int k = to[i];if (!vis[k] && wei[i]) {d[k] = min(d[t], wei[i])， pre[k] = i;if (k == T)return true;q.emplace(k);vis[k] = 1;}}}return false; }int EK() {int res = 0;while (bfs()) {res += d[T];for (int i = T; i != S; i = to[pre[i] ^ 1])wei[pre[i]] -= d[T], wei[pre[i] ^ 1] += d[T];}return res; }int main() {cin >> n >> m >> S >> T;memset(head, -1, sizeof head);for (int i = 0; i < m; i++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;addedge(a, b, c);}cout << EK() << endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网络流-EK求最大流的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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