作者 | 袁廚 責編 | 張文

頭圖 | CSDN 下載自視覺中國

來源 | 袁廚的算法小屋(ID：tan45du_me)

今天給大家帶來的是二分查找及其變種的總結。

袁記菜館內。

店小二：掌柜的，您進貨回來了呀，喲！今天您買這魚挺大呀！

袁廚：那是，這是我今天從咱們江邊買的，之前一直去菜市場買，那里的老貴了，你猜猜我今天買的多少錢一條。

店小二：之前的魚，30 個銅板一條，今天的我猜 26 個銅板。

袁廚：貴了。

店小二：還貴呀！那我猜 20 個銅板！

袁廚：還是貴了。

店小二：15 個銅板。

袁廚：便宜了

店小二：18 個銅板

袁廚：恭喜你猜對了

上面的例子就用到了我們的二分查找思想，如果你玩過類似的游戲，那二分查找理解起來肯定很輕松啦。

二分查找

二分查找也稱折半查找(Binary Search)，是一種在有序數組中查找某一特定元素的搜索算法。我們可以從定義可知，運用二分搜索的前提是數組必須是有序的，這里需要注意的是，我們的輸入不一定是數組，也可以是數組中某一區間的起始位置和終止位置。

通過上面二分查找的定義，我們知道了二分查找算法的作用及要求，那么該算法的具體執行過程是怎樣的呢？

下面我們通過一個例子來幫助我們理解。我們需要在 nums 數組中，查詢元素 8 的索引。

1. 我們需要定義兩個指針分別指向數組的頭部及尾部，這是我們在整個數組中查詢的情況，當我們在數組某一區間進行查詢時，可以輸入數組，起始位置，終止位置進行查詢。

2. 找出 mid，該索引為 mid =(left + right)/ 2，但是這樣寫有可能溢出，所以我們需要改進一下寫成 mid = left +(right - left)/ 2 或者 left + ((right - left ) >> 1) 兩者作用是一樣的，都是為了找到兩指針的中間索引，使用位運算的速度更快。那么此時的 mid = 0 + (8-0) / 2 = 4

3. 此時我們的 mid = 4，nums[mid] = 6 < target，那么我們需要

移動我們的 left 指針，讓left = mid + 1，下次則可以在新的 left 和 right 區間內搜索目標值

，下圖為移動前和移動后

4. 我們需要在 left 和 right 之間計算 mid 值，mid = 5 + (8 - 5)/ 2 = 6 然后將 nums[mid] 與 target 繼續比較，進而決定下次移動left 指針還是 right 指針，見下圖

5. 我們發現

nums[mid] > target，則需要移動我們的 right 指針

， 則 right = mid - 1；則移動過后我們的 left 和 right 會重合，這里是我們的一個重點大家需要注意一下，后面會對此做詳細敘述。

6. 我們需要在 left 和 right 之間繼續計算 mid 值，則 mid = 5 +(5 - 5)/ 2 = 5 ，見下圖，此時我們將 nums[mid] 和 target 比較，則發現兩值相等，返回 mid 即可 ，如果不相等則跳出循環，返回 -1。

二分查找的執行過程如下

二分查找的執行過程如下

• 從已經排好序的數組或區間中，取出中間位置的元素，將其與我們的目標值進行比較，判斷是否相等，如果相等則返回。

• 如果 nums[mid] 和 target 不相等，則對 nums[mid] 和 target 值進行比較大小，通過比較結果決定是從 mid的左半部分還是右半部分繼續搜索。

如果 target > nums[mid] 則右半區間繼續進行搜索，即 left = mid + 1; 若target < nums[mid] 則在左半區間繼續進行搜索，即 right = mid -1；

動圖解析

下面我們來看一下二分查找的代碼，可以認真思考一下 if 語句的條件，每個都沒有簡寫。

二分查找的思路及代碼已經理解了，那么我們來看一下實現時容易出錯的地方。

易錯點：

計算 mid 時 ，不能使用 (left + right )/ 2，否則有可能會導致溢出

while (left < = right)，注意括號內為 left <= right ，而不是 left < right ，我們繼續回顧剛才的例子，如果我們設置條件為 left < right 則當我們執行到最后一步時，則我們的 left 和 right 重疊時，則會跳出循環，返回 -1，區間內不存在該元素，但是不是這樣的，我們的 left 和 right 此時指向的就是我們的目標元素 ，但是此時 left = right 跳出循環

left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。我們思考一下這種情況,見下圖，當我們的target 元素為 16 時，然后我們此時 left = 7 ，right = 8，mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7，那如果設置 left = mid 的話，則會進入死循環，mid 值一直為7 。

下面我們來看一下二分查找的遞歸寫法

例題及解析

例題：

題目來源：leetcode35 搜索插入位置

給定一個排序數組和一個目標值，在數組中找到目標值，并返回其索引。如果目標值不存在于數組中，返回它將會被按順序插入的位置。

你可以假設數組中無重復元素。

示例 1:

輸入: [1,3,5,6], 5 輸出: 2

示例 2:

輸入: [1,3,5,6], 2 輸出: 1

示例 3:

輸入: [1,3,5,6], 7 輸出: 4

示例 4:

輸入: [1,3,5,6], 0 輸出: 0

題目解析

這個題目完全就和咱們的二分查找一樣，只不過有了一點改寫，那就是將咱們的返回值改成了 left，具體實現過程見下圖

二分查找變種一

上面我們說了如何使用二分查找在數組或區間里查出特定值的索引位置。但是我們剛才數組里面都沒有重復值，查到返回即可，那么我們思考一下下面這種情況：

此時我們數組里含有多個 5 ，我們查詢是否含有 5 可以很容易查到，但是我們想獲取第一個 5 和 最后一個 5 的位置應該怎么實現呢？

哦！我們可以使用遍歷，當查詢到第一個 5 時，我們設立一個指針進行定位，然后到達最后一個 5 時返回，這樣我們就能求的第一個和最后一個五了？因為我們這個文章的主題就是二分查找，我們可不可以用二分查找來實現呢？當然是可以的。

題目描述

題目來源：leetcode 34 在排序數組中查找元素的第一個和最后一個位置

給定一個按照升序排列的整數數組 nums，和一個目標值 target。找出給定目標值在數組中的開始位置和結束位置。

如果數組中不存在目標值 target，返回 [-1, -1]。

示例 1：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 輸出：[3,4]

示例 2：

輸入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 輸出：[-1,-1]

示例 3：

輸入：nums = , target = 0 輸出：[-1,-1]

題目解析

這個題目很容易理解，我們在上面說了如何使用遍歷解決該題，但是這個題目的目的就是讓我們使用二分查找，我們來逐個分析，先找出目標元素的下邊界，那么我們如何找到目標元素的下邊界呢？

我們來重點分析一下剛才二分查找中的這段代碼

我們只需在這段代碼中修改即可，我們再來剖析一下這塊代碼，

nums[mid] == target 時則返回，nums[mid] < target 時則移動左指針，在右區間進行查找， nums[mid] > target 時則移動右指針，在左區間內進行查找。

那么我們思考一下，如果此時我們的 nums[mid] = target ，但是我們不能確定 mid 是否為該目標數的左邊界，所以此時我們不可以返回下標。例如下面這種情況。

此時 mid = 4 ，nums[mid] = 5，但是此時的 mid 指向的并不是第一個 5，所以我們需要繼續查找 ，因為我們要找的是數的下邊界，所以我們需要在 mid 的值的左區間繼續尋找 5 ，那我們應該怎么做呢？

我們只需在target <= nums[mid] 時，讓 right = mid - 1即可，這樣我們就可以繼續在 mid 的左區間繼續找 5 。是不是聽著有點繞，我們通過下面這組圖進行描述。

其實原理很簡單，就是我們將小于和等于合并在一起處理，當 target <= nums[mid] 時，我們都移動右指針，也就是 right = mid -1，還有一個需要注意的就是，我們計算下邊界時最后的返回值為 left ，當上圖結束循環時，left = 3，right = 2，返回 left 剛好時我們的下邊界。我們來看一下求下邊界的具體執行過程。

動圖解析

計算下邊界代碼

計算上邊界時算是和計算上邊界時條件相反，

計算下邊界時，當 target <= nums[mid] 時，right = mid -1；target > nums[mid] 時，left = mid + 1；

計算上邊界時，當 target < nums[mid] 時，right = mid -1; target >= nums[mid] 時 left = mid + 1;剛好和計算下邊界時條件相反，返回right。

計算上邊界代碼

題目完整代碼

二分查找變種二

我們在上面的變種中，描述了如何找出目標元素在數組中的上下邊界，然后我們下面來看一個新的變種，如何從數組或區間中找出第一個大于或最后一個小于目標元素的數的索引，例 nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} 我們希望找出第一個大于 5的元素的索引，那我們需要返回 4 ，因為 5 的后面為 6，第一個 6 的索引為 4，如果希望找出最后一個小于 6 的元素，那我們則會返回 3 ，因為 6 的前面為 5 最后一個 5 的索引為 3。

題目我們已經了解，下面我們先來看一下如何在數組或區間中找出第一個大于目標元素的數吧。

找出第一個大于目標元素的數，大概有以下幾種情況

數組包含目標元素，找出在他后面的第一個元素；

目標元素不在數組中，且數組中的所有元素都大于它，那么我們此時返回數組的第一個元素即可；

目標元素不在數組中，數組內的部分元素大于它，此時我們需要返回第一個大于他的元素；

目標元素不在數組中，且數組中的所有元素都小于它，那么我們此時沒有查詢到，返回 -1 即可。

既然我們已經分析完所有情況，那么這個題目對咱們就沒有難度了，下面我們描述一下案例的執行過程

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

上面的例子中，我們需要找出第一個大于 7 的數，那么我們的程序是如何執行的呢？

上面的例子我們已經弄懂了，那么我們看一下，當 target = 0時，程序應該怎么執行呢？

OK！我們到這一步就能把這個變種給整的明明白白的了，下面我們看一哈程序代碼吧，也是非常簡單的。

通過上面的例子我們應該可以完全理解了那個變種。

下面我們繼續來看以下這種情況，那就是如何找到最后一個小于目標數的元素。還是上面那個例子

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

查找最后一個小于目標數的元素，比如我們的目標數為 7 ，此時他前面的數為 6，最后一個 6 的索引為 5，此時我們返回 5 即可，如果目標數元素為 12，那么我們最后一個元素為 11，仍小于目標數，那么我們此時返回 8，即可。這個變種其實算是上面變種的相反情況，上面的會了，這個也完全可以搞定了，下面我們看一下代碼吧。

課后作業：

思考一下如果數組不完全有序我們可以用二分查找嗎？

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的access 查找工龄大于30_面试前必知必会的二分查找及其变种的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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