一元函數(shù)定積分的數(shù)學(xué)表示為

在被積函數(shù)f(x)理論上不可積時，即無法求出該積分的解析解，所以往往要采用數(shù)值方法來求解。求解定積分的數(shù)值方法是多種多樣的，如簡單的梯形法、Simpson 法、Romberg 法等算法都是數(shù)值分析課程中經(jīng)常介紹的方法。它們的基本思想都是將整個積分空間[a, b]分割成若干個子空間。

,其中 ,這樣整個積分問題就分解為下面的求和形式。

粗區(qū)間劃分

細區(qū)間劃分% 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:36 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- a= 0; b = pi; n =50; x = linspace(a,b,n); y = x.^2; plot(x,y,'r-') hold on for i = 1:length(x)-1plot([x(i) x(i) x(i+1)],[0 y(i) y(i)],'b-')hold on end title('y=x^2,n=50')

梯形求積

而在每一個小的子空間上都可以近似地求解出來，當然最簡單的求每-一個小的子空間的積分方法是采用梯形近似的方法。梯形方法還可以應(yīng)用于已知數(shù)據(jù)樣本點的數(shù)值積分問題求解。假設(shè)在實驗中測得一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ... (xN,yN),且x為嚴格單調(diào)遞增的數(shù)值，直接求取這些點對應(yīng)曲線的數(shù)值積分最直觀的方法就是用梯形方法.

matlab積分實現(xiàn)

%例: 試用梯形法求出x∈(0,π)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)sin x的定積分值。x = linspace(0,pi,1000); y= sin(x); S= sum((2*y(1:end-1)+diff(y)).*(diff(x)))/2

辛普森算法求積

單變量函數(shù)的數(shù)值積分還可以采用一般數(shù)值分析中介紹的其他算法進行求解。例如，可以采用下面給出的Simpson方法求解出

上的積分的近似值為

y = quad(fun,a,b)

其中，Fun為描述被積函數(shù)的字符串變量，可以是一個Fun.m函數(shù)文件名，該函數(shù)的一般格式為y=Fun(x)，還可以用inline()函數(shù)和匿名函數(shù)直接定義。a, b分別為定積分的上限和下限.

多重積分

使用MATLAB提供的dblquad()函數(shù)就可以直接求出上述雙重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為

y=db1quad (Fun ,Xm,IM , Ym ,YM)%矩形區(qū)域的雙重積分 y=dblquad(Fun,xm,TM,Ym,YM,E) % 限定精度的雙重積分

注意，本函數(shù)不能返回被積函數(shù)調(diào)用次數(shù)，故用戶可以自已在被積函數(shù)中設(shè)置一個計數(shù)器，從而測出調(diào)用次數(shù)。

蒙特卡洛積分

Monte Carlo法是通過大量實驗來求取隨機變量近似值的一種常用的方法，在現(xiàn)代科學(xué)研究中經(jīng)常用來求解一些建模困難的問題。

考慮圖3中給出的示意圖。假設(shè)正方形的邊長為1，可見，四分之一圓的面積是π/4,其面積和正方形面積的比是

，換句話說，如果產(chǎn)生一個均勻分布的隨機數(shù)，它落到四分之一圓的概率為 。生成N組隨機數(shù)x和y，使其均為區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)。這樣記滿足 概率為Ni，則對大量的實驗數(shù)據(jù)，有Ni/N≈π/4,.如果N足夠大，則可以通過下面的式子近似求出π的值。% 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:51 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- N=1e5; x= rand(N,1); y = rand(N,1); i = (x.^2+y.^2)<1; p = sum(i)/N*4 p =3.1387 >>

echo on % 語法: % 版本9.6.0.1072779 (R2019a) on PCWIN64 % shi z.y. (155****@qq.com), 2019-09-14 12:51 %-------------------------------------------------------------------------clear variable;close all clc;format compact %% ------------------------------------------------------------------------- N=1e3; x= rand(N,1); y = rand(N,1); i = (x.^2+y.^2)<1; j = (x.^2+y.^2)>=1; p = sum(i)/N*4 p =3.0440 r =1; theta=0:0.01:pi/2; x1 = r*cos(theta); y1 =r*sin(theta); plot(x1,y1,'r-','linewidth',2) axis equal axis([0 1 0 1]) box on grid on hold on scatter(x(i),y(i),'b')scatter(x(j),y(j),'g') >>

總結(jié)

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