mod運算，即求余(取模)運算，是在整數運算中求一個整數 x 除以另一個整數y的余數的運算，且不考慮運算的商。在計算機程序設計中都有MOD運算，其格式為： mod(nExp1,nExp2)，即是兩個數值表達式作除法運算后的余數。

取模主要是用于計算機術語中。取余則更多是數學概念。模運算在數論和程序設計中都有著廣泛的應用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。(推薦學習：PHP視頻教程)

雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對于模運算在程序設計中的應用涉及不多。

給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式 ：

取模運算：a % p(或a mod p)，表示a除以p的余數。

運算規則

模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p (4)

結合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)

交換律：

(a + b) % p = (b+a) % p (7)

(a * b) % p = (b * a) % p (8)

分配律：

(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p (9)

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (10)

重要定理

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；(11)

若a≡b (% p)，則對于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；(12)

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)； (13)

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總結

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