[转] 最近点对距离问题
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求點(diǎn)集中的最近點(diǎn)對(duì)有以下兩種方法:
設(shè)p1=(x1, y1), p2=(x2, y2), …, pn=(xn, yn)是平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合S，設(shè)計(jì)算法找出集合S中距離最近的點(diǎn)對(duì)。
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1、蠻力法（適用于點(diǎn)的數(shù)目比較小的情況下）
???? 1）算法描述：已知集合S中有n個(gè)點(diǎn)，一共可以組成n(n-1)/2對(duì)點(diǎn)對(duì)，蠻力法就是對(duì)這n(n-1)/2對(duì)點(diǎn)對(duì)逐對(duì)進(jìn)行距離計(jì)算，通過(guò)循環(huán)求得點(diǎn)集中的最近點(diǎn)對(duì)：
???? 2）代碼描述：
double MinDistance = double.maxvalue；? //設(shè)置一個(gè)MinDistance存儲(chǔ)最近點(diǎn)對(duì)的距離，初始值為無(wú)窮大
int PointIndex1,PointIndex2； //設(shè)置PointIndex1,PointIndex2分別存儲(chǔ)最近點(diǎn)對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)編號(hào)
for (i=1; i< n; i++)??? //循環(huán)計(jì)算n(n-1)/2對(duì)點(diǎn)對(duì)的距離 {
???? for (j=i+1; j<=n; j++) ???? {
?????????? double PointDistance = Distance(S[i],S[j]);?? //求得point i和point j之間的距離
?????????? if PointDistance < MinDistance;? //如果當(dāng)前點(diǎn)對(duì)距離小于最小點(diǎn)對(duì)距離，則設(shè)置最小點(diǎn)對(duì)距離等于當(dāng)前點(diǎn)對(duì)距離
?????????? {
???????????????? MinDistance = PointDistance;
???????????????? PointIndex1 = i;
???????????????? PointIndex2 = j;
??????????? }
?????? }
}
????? }? ???? 3）算法時(shí)間復(fù)雜度：算法一共要執(zhí)行 n(n-1)/2次循環(huán)，因此算法復(fù)雜度為O(n2)
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2、分治法
???? 1）算法描述：已知集合S中有n個(gè)點(diǎn)，分治法的思想就是將S進(jìn)行拆分，分為2部分求最近點(diǎn)對(duì)。算法每次選擇一條垂線L，將S拆分左右兩部分為SL和SR，L一般取點(diǎn)集S中所有點(diǎn)的中間點(diǎn)的x坐標(biāo)來(lái)劃分，這樣可以保證SL和SR中的點(diǎn)數(shù)目各為n/2，
（否則以其他方式劃分S，有可能導(dǎo)致SL和SR中點(diǎn)數(shù)目一個(gè)為1，一個(gè)為n-1，不利于算法效率，要盡量保持樹(shù)的平衡性）
依次找出這兩部分中的最小點(diǎn)對(duì)距離：δL和δR，記SL和SR中最小點(diǎn)對(duì)距離δ = min（δL，δR），如圖1：
???
???? 以L為中心，δ為半徑劃分一個(gè)長(zhǎng)帶，最小點(diǎn)對(duì)還有可能存在于SL和SR的交界處，如下圖2左圖中的虛線帶，p點(diǎn)和q點(diǎn)分別位于SL和SR的虛線范圍內(nèi)，在這個(gè)范圍內(nèi)，p點(diǎn)和q點(diǎn)之間的距離才會(huì)小于δ，最小點(diǎn)對(duì)計(jì)算才有意義。
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Figure 2?
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????? 對(duì)于SL虛框范圍內(nèi)的p點(diǎn)，在SR虛框中與p點(diǎn)距離小于δ的頂多只有六個(gè)點(diǎn)，就是圖二右圖中的2個(gè)正方形的6的頂點(diǎn)。這個(gè)可以反推證明，如果右邊這2個(gè)正方形內(nèi)有7個(gè)點(diǎn)與p點(diǎn)距離小于δ，例如q點(diǎn)，則q點(diǎn)與下面正方形的四個(gè)頂點(diǎn)距離小于δ，則和δ為SL和SR中的最小點(diǎn)對(duì)距離相矛盾。因此對(duì)于SL虛框中的p點(diǎn)，不需求出p點(diǎn)和右邊虛線框內(nèi)所有點(diǎn)距離，只需計(jì)算SR中與p點(diǎn)y坐標(biāo)距離最近的6個(gè)點(diǎn)，就可以求出最近點(diǎn)對(duì)，節(jié)省了比較次數(shù)。
（否則的話，最壞情形下，在SR虛框中有可能會(huì)有n/2個(gè)點(diǎn)，對(duì)于SL虛框中的p點(diǎn)，每次要比較n/2次，浪費(fèi)了算法的效率）
???? 代碼描述：
???? 1）對(duì)點(diǎn)集S的點(diǎn)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)進(jìn)行升序排序，獲得點(diǎn)集Sx和Sy
???? 2）令δ=∞;?? //δ為最小點(diǎn)位距離
???? 3）Divide_conquer（Sx，Sy，δ）? //分治法
???????????? if （Sx.count=1） then δ=∞;?? //如果Sx中只有一個(gè)點(diǎn)，則δ=∞
????????????????? return δ;
???????????? else if（Sx.count=2 and d（Sx.[0],Sx.[1]）<δ） //如果Sx中只有2個(gè)點(diǎn)，則δ為兩點(diǎn)之間距離
?????????????????? δ=d（Sx.[0],）Sx.[1]）;?
?????????????????? return δ;
???????????? else??? //如果Sx中多于2個(gè)點(diǎn)，則將Sx,Sy分治，以中心點(diǎn)畫(huà)線，將Sx分為左右兩部分SxL和SxR，Sy分為SyL和SyR
?????????????????? j1=1,j2=1,k1=1,k2=1;
?????????????????? mid = Sx.count/2;? //mid為Sx中的中間點(diǎn)點(diǎn)號(hào)
?????????????????? L = Sx.[mid].x;???? //L為Sx中的中間點(diǎn)x坐標(biāo)
?????????????????? for(i=1,i<Sx.count,i++)
?????????????????? {
???????????????????????? if(i<=mid)??? //將Sx中間線以左地方的點(diǎn)存入到SxL，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
??????????????????????????????? SxL[k1] = Sx[i]?? k1++;
???????????????????????? else?? //將Sx中間線以右的地方的點(diǎn)存入到SxR，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
??????????????????????????????? SxR.count[k2] = Sx[i]?? k2++;
???????????????????????? if(Sy[i].x <L)?? //將Sy中間線以左地方的點(diǎn)存入到SyL，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
??????????????????????????????? SyL[j1] = Sx[i]?? j1++;
?
???????????????????????? else?? //將Sy中間線以右地方的點(diǎn)存入到SyR，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
?
??????????????????????????????? SyR[j2] = Sx[i]?? j2++;
?
?
?????????????????? }
????????????? δL = Divide_conquer（SxL，SyL，δ）;??? //獲取Sx中的的最小點(diǎn)位距離δL
?
????????????? δR = Divide_conquer（SxR，SyR，δ）;?? //獲取Sy中的的最小點(diǎn)位距離δR
????????????? δ= min (δL,δR);
????????????? δ=merge(SyL，SyR，δ);?? //獲Sx中Sy交界處的最小點(diǎn)位距離，并綜合 δL和δR 求出點(diǎn)集的最小點(diǎn)位距離δ
????? return δ;
?
????? 函數(shù)merge(SyL，SyR，δ)
????? merge(SyL，SyR，δ)
????? {
????????? i1=1,i2=1;
????????? for(i=1,i<SyL.count,i++)?? //獲取SyL中在左邊虛框(距離小于δ)內(nèi)的點(diǎn)，存入到S'yL中，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
????????? {
????????????? if(SyL[i].x>L-δ)
????????????????? then S'yL[i1]= SyL[i], i1++,
?????????? }
????????? for(i=1,i<SyR.count,i++)? //獲取SyR中在右邊虛框(距離小于δ)內(nèi)的點(diǎn)，存入到S'yR中，新數(shù)組保持原來(lái)的升序性質(zhì)
????????? {
????????????? if(SyR[i].x<L+δ)
????????????? then S'yR[i2]= SyR[i], i2++,
????????? }
?
????????? t=1;
????????? for(i=1,i<S'yL.count,i++)
?????????? {?????
??????????????? while(S'yR[t].y< S'yL[t].y and t < SyR.count)? //獲取點(diǎn)集S'yR內(nèi)距離點(diǎn)S'yL[t]y坐標(biāo)最接近的點(diǎn)號(hào)
??????????????? { t++; }
??????????????? for( j= max(1,t-3), j<=min(t+3,S'yR.count),j++)?? //計(jì)算S'yR中的點(diǎn)與S'yL[t]y坐標(biāo)相鄰的六個(gè)點(diǎn)的距離
??????????????? {
????????????????????? if(d(S'yL[i],S'yL[j])<δ)??? //如果前兩點(diǎn)之間距離小于δ
????????????????????? then δ = d(S'yL[i],S'yL[j]);?? //則最小點(diǎn)位距離δ為當(dāng)前兩點(diǎn)之間距離
??????????????? }
????????? return δ
????? }
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3）算法時(shí)間復(fù)雜度：
????? 首先對(duì)點(diǎn)集S的點(diǎn)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)進(jìn)行升序排序，需要循環(huán)2nlogn次，復(fù)雜度為O(2nlogn)
????? 接下來(lái)在分治過(guò)程中，對(duì)于每個(gè)S'yL中的點(diǎn)，都需要與S'yR中的6個(gè)點(diǎn)進(jìn)行比較
??????????? O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6? （一個(gè)點(diǎn)集劃分為左右兩個(gè)點(diǎn)集，時(shí)間復(fù)雜度為左右兩個(gè)點(diǎn)集加上中間區(qū)域運(yùn)算之和）
????? 其解為O(n)< O(3nlogn)
???? 因此總的時(shí)間復(fù)雜度為O(3nlogn)，比蠻力法的O(n2)要高效。
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例題：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1007
參考代碼：http://www.cnblogs.com/hate13/p/4160111.html
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hate13/p/4160056.html
創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)總結(jié)
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